2020年高考数学一轮复习考点36基本不等式必刷题理(含解析)

考点36 基本不等式

1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x，y，z是正数，且3x?4y?12z，

x?y??n,n?1?，n?N，则n的值是 zA．3 【答案】B 【解析】

B．4 C．5 D．6

令3x?4y?12z?k，得x?log3k，y?log4k，z?log12k，

2111x?y1x?y??x?yxy?，所以则??，得??2??，注意到4y?3x?2x，即2y?x，且xyzxyzzxyyxx?y1?9?y?x，所以1?y?1，设t?y，则?2??t??4,?.所以n?4.故选B.

ztx2x?2?2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知A,B为抛物线x2?2py(p?0)上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为2?，若过圆心C作该抛物线准线l的垂线CD，垂足为D，则|CD|的最大值为（ ）

A．2 【答案】A 【解析】

B．2

C．2 2D．

1 2?AB?，

根据题意，2??????2?∴AB?22. 2|BF|?b，过点A作AQ?l于Q，过点B作BP?l于P， 设|AF|?a，由抛物线定义，得AF?AQ，BF?BP，在梯形ABPQ中， ∴2CD?AQ?BP?a?b， 由勾股定理得，8?a2?b2，

aba2?b2a?b?a2?b2?2ab8?2ab?∵CD???4， ??2??2???2444?2?22所以CD≤2（当且仅当a?b时，等号成立）.

3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a,b的夹角为60,且满足a?2b?2,则a?b的最大值为( ) A．

1 2B．1 C．2 D．3

【答案】B 【解析】

因为非零向量a,b的夹角为60,且满足a?2b?2, 所以a?2b22?a?4b?4a?b?4，

2222即a?4b?4abcos60?4，即a?4b?2ab?4， 又因为a?4b222?4ab，当且仅当a?2b时，取等号；

2所以2ab?a?4b?2ab?4，即ab?2； 因此，a?b?abcos60?即a?b的最大值为1. 故选B

4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数f(x)?ln(x?1)，若f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围为（ ） A．（4，+∞） 【答案】B 【解析】

∵函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＝f（b），且x＞1，不妨设a?b，则1?a?2?b. ∴﹣ln（a﹣1）＝ln（b﹣1），∴

B．[3?22，??)

C．[6，+∞）

D．(4,3?22]

21ab?1. 211＝b﹣1，∴b＝+1， a?1a?1∴a+2b＝a+

222?2?a?1??3…3?2(a?1)??3?22，当且仅当a＝2+1取等号， a?1a?1a?1∴a+2b的取值范围是[3?22，??) 故选：B．

5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数m,n满足2m?n?1，则A．3?22 C．2?22 【答案】A 【解析】

由题意，因为2m?n?1， 则

B．3?2 D．3

11?的最小值为 mn1111n2mn2m??(?)?(2m?n)?3???3?2??3?22， mnmnmnmnn2m?，即n?2m时等号成立， mn11所以?的最小值为3?22，故选A.

mn当且仅当

2x?y7??626．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x，y均为正实数，且xy，则x+3y

的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x，y均为正实数,

2x?y217????6, xyyx2x?3y?17?62?x?3y??1?21?13y2x7?26?2.???(7??)?7 7xy?yx??6?622??当3y?2x时等号成立.

故答案为：2.

7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lga?lgb?0，则【答案】22 【解析】

21?的最小值是_____________. ab∵lga+lgb＝lgab＝0， ∴ab＝1，且a＞0，b＞0， 则

212??2?22， abab212?且ab＝1时即a?2，b?取得最小值22． ab2当且仅当

故答案为22 8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D在?ABC的边AC上，且CD?3AD，

BD?2，cos?ABC10，则3AB?BC的最大值为________． ?24

【答案】

165 5【解析】 因为cos?ABC10， ?242所以cos?ABC?2cos?10??ABC1?1?2??1?

?4??24??2uuuruuuruuruuuruuuruuur因为CD?3AD，所以CD?3DA即BD?BC?3BA?BD，

??uuur3uur1uuuruuur29uur21uuur23uuruuur整理得到BD?BA?BC，两边平方后有BD?BA?BC?BA?BC，

4416168r23uuruuurr23uuruuur19uur21uuu9uur21uuu所以2?BA?BC?BA?BC即2?BA?BC?|BA|?|BC|?，

16168161684uur2uuur23uuruuur32?9BA?BC?BA?BC整理得到，

2uuruuur39222设c?BA,a?BC，所以32?9c?a?ac??3c?a??ac，

229ac3?3a?c3?3a?c?因为?????，

222?2?2