初中数学培优辅导资料1

初中数学竞赛辅导资料（8）

抽屉原则

内容提要

1． 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即

等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。 2． 如果用m定义为：

m个元素分成n个集合（m、n为正整数m>n）,则至少有一个集合里元素不少于m个。 3． 根据m?n?表示不小于mn的最小整数，例如?73?＝3，?63??2 。那么抽屉原则可

?n??n?的定义，己知m、n可求?mn?；

m?，则可求m的范围，例如己知?m?＝3，那么2＜m≤3； 己知?nnnn己知?x?＝2，则 1＜x≤2，即3＜x≤6，x有最小整数值4。

33?n?个

例题

例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？ 分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m（2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于m解：∵

200017 ∴2000＝6 答：至少有6名学生的生日是同一天 ?5

366366366??例2从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这

是为什么。

解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，

它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。 ∵要在5个集合里取出6个数，

∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。

例3袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。 分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。 解：设至少应取出x个，用｛x｝表示不小于x的最小整数，那么｛x｝＝3，

444∴2＜x≤3， 即8＜x ≤12， 最小整数值是9。

4答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。

例4等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。

解：取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1， ∵5个点放入4个三角形， ∴至少有2个点放在同一个三角形内，

而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。 练习8 1． 初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有＿人来自同 一个乡镇。

2． 任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有＿＿个是相同的。

3． 在2003m中，指数m任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少于＿＿个.

4． 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双）那么至少要取几只？若要确保10双呢？

5． 袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各6个.请你拿出一些球,要确保至少有4个同颜色,那么最少要取几个?

6． 任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？ 7． 右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。

8． 任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。

9． 90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？

10．11个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。（最大公约数是1的两个正整数叫互质数） 11．任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？

初中数学竞赛辅导资料(9)

一元一次方程解的讨论 甲内容提要

1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的

解也叫做根。

例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。 2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=

b； a当a=0且b≠0时，无解；

当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立） 3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题

例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？

解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=

②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=

4 a4,∴只要a与4同号， a即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。 例2 k取什么整数值时，方程

①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？

②（1－x）k=6的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k＋2）x=4

当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k－6，

当k≠0时x=

k?66=1－， kk只要k能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数

当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。

例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b

∵方程无解，∴a－b=0且b≠0 ∴a和b应满足的关系是a=b≠0。

例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7， 根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知 当 ??3a?2b?8?0时，原方程有无数多解。

?2a?3b?7?0解这个方程组得??a?2 b?1? 答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。

丙练习（9）

1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：

① (x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3, ⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x

2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________ 3,在方程a(a－3)x=a中，

当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解；

当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。 4， k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？

① x=

462k?33k?2 ②x= ③x= ④x= kk?1kk?15， k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？

6， m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？

3x?6a?2的根是正数，那么a、b应满足什么关系？ ?1?42x28， m取什么整数值时，方程(?1)m?1?m的解是整数?

33b39， 己知方程(x?1)?1?ax有无数多解，求a、b的值。

227， 己知方程

初中数学竞赛辅导资料（10）

二元一次方程的整数解

甲内容提要

1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

1?11y1?y?10y1?y=??2y (1) , 5551?y 设，则y=1-5k (2) , ?k(k是整数）

5解：x=

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是?方法二，公式法：

?x?11k?2（k是整数）

?y?1?5k?x?x0?x?x0?bk设ax+by=c有整数解?则通解是?（x0,y0可用观察法）

y?y?aky?y00??3， 求二元一次方程的正整数解：

① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。

乙例题

例1求方程5x－9y=18整数解的能通解

18?9y15?10y?3?y3?y ??3?2y?5553?y设，y=3－5k, 代入得x=9－9k ?k（k为整数）

5解x=

?x?9?9k ∴原方程整数解是? （k为整数）

y?3?5k?又解：当x=o时，y=－2， ∴方程有一个整数解??x?0?9y?x?0它的通解是?（k为整数）

y??2?5ky??2?? 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。

例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x= 设

100?6yy?20?y?(1)， 55y?k(k为整数)，则y=5k,(2) 5把（2）代入（1）得x=20-6k， ∵??x?0?20?6k?0 解不等式组?

?y?0?5k?020,k的整数解是1，2，3， 6得0＜k<

?x?14?x?8?x?2∴正整数解是? ??y?10y?15y?5???例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？

解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得

3x+5y=38 （x,y都是正整数） ∵x＝1时，y=7，∴??x?1是一个整数解 y?7?∴通解是??x?1?5k（k为整数）

?y?7?3k解不等式组??1?5k?017得解集是??k? ∴整数k=0，1，2

53?7?3k?0?x?1?y?7?x?6?x?11 ???y?4?y?1把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解?答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。

丙练习10

1， 求下列方程的整数解

①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4

2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110

3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？

4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁

数。

5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）

① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,

④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.

6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？

7． 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解： y= x=

1 4 －2 1?7y? 3