点评： 本题考查的是二次函数综合题.涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图象上点的坐标特点、平行
四边形的判定与性质等知识.难度较大．
25．（14分）（2015?绵阳）如图.在边长为2的正方形ABCD中.G是AD延长线时的一点.且DG=AD.动点M从A点出发.以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A.G重合）.设运动时间为t秒.连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M.使△ABM为等腰三角形？若存在.分析点M的位置；若不存在.请说明理由； （2）当点N在AD边上时.若BN⊥HN.NH交∠CDG的平分线于H.求证：BN=HN；
（3）过点M分别作AB.AD的垂线.垂足分别为E.F.矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S.求S的最大值．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）四种情况：当点M为AC的中点时.AM=BM；当点M与点C重合时.AB=BM；当点M在AC上.且AM=2时.AM=AB；
当点M为CG的中点时.AM=BM；△ABM为等腰三角形；
（2）在AB上截取AK=AN.连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°.AB=AD.∠CDG=90°.得出BK=DN.先证出∠
BKN=∠NDH.再证出∠ABN=∠DNH.由ASA证明△BNK≌△NHD.得出BN=NH即可；
（3）①当M在AC上时.即0＜t≤2
时.△AMF为等腰直角三角形.得出AF=FM=
t.求出S=AF?FM=t；当
2
t=2时.即可求出S的最大值；
＜t＜4
时.先证明△ACD≌△GCD.得出∠ACD=∠GCD=45°.求出∠ACM=90°.证出
②当M在CG上时.即2
△MFG为等腰直角三角形.得出FG=MG?cos45°=4﹣出结果．
. .
t.得出S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG.S为t的二次函数.即可求
解答： （1）解：存在；当点M为AC的中点时.AM=BM.则△ABM为等腰三角形；
当点M与点C重合时.AB=BM.则△ABM为等腰三角形； 当点M在AC上.且AM=2时.AM=AB.则△ABM为等腰三角形； 当点M为CG的中点时.AM=BM.则△ABM为等腰三角形； （2）证明：在AB上截取AK=AN.连接KN；如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形. ∴∠ADC=90°.AB=AD. ∴∠CDG=90°.
∵BK=AB﹣AK.ND=AD﹣AN. ∴BK=DN. ∵DH平分∠CDG. ∴∠CDH=45°.
∴∠NDH=90°+45°=135°. ∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°. ∴∠BKN=∠NDH.
在Rt△ABN中.∠ABN+∠ANB=90°. 又∵BN⊥NH. 即∠BNH=90°.
∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°. ∴∠ABN=∠DNH. 在△BNK和△NHD中.
.
∴△BNK≌△NHD（ASA）. ∴BN=NH；
（3）解：①当M在AC上时.即0＜t≤2∵AM=t. ∴AF=FM=
时.△AMF为等腰直角三角形.
t.
t×
t=t；
）=2；
时.如图2所示：
2
2
∴S=AF?FM=×当t=2
时.S的最大值=×（2
＜t＜4
②当M在CG上时.即2
. .
CM=t﹣AC=t﹣2.MG=4﹣t.
在△ACD和△GCD中.
.
∴△ACD≌△GCD（SAS）. ∴∠ACD=∠GCD=45°. ∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°. ∴∠G=90°﹣∠GCD=45°. ∴△MFG为等腰直角三角形. ∴FG=MG?cos45°=（4
﹣t）?
=4﹣
t.
∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG=×4×2﹣×CM×CM﹣×FG×FG =4﹣（t﹣2=﹣（t﹣∴当t=
）﹣（4﹣）+.
时.S的最大值为．
22
）=﹣
2
+4t﹣8
点评： 本题是相似形综合题目.考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角
形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识；本题难度较大.综合性强.特别是（3）中.需要进行分类讨论.通过证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结果．
宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！—————献给所有努力的人
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