2006年数学（二）考研真题及解答
一、填空题 （1）曲线y?x?4sinx的水平渐近线方程为 .
5x?2cosx?1?（2）设函数f(x)??x3??（3）广义积分
?x0sint2dt,x?0,x?0在x?0处连续，则a? .
a,???0xdx? .
(1?x2)2（4）微分方程y??y(1?x)的通解是 . xy（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则（6）设矩阵A?? .
二、选择题
dydxA?0= .
?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B=
??12?（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
（A）0?dy??y. （C）?y?dy?0.
（B）0??y?dy. （D）dy??y?0.
【 】
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数. （C）在x?0间断的奇函数 （9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
1?g(x)?x0f(t)dt是
（B）连续的偶函数
（D）在x?0间断的偶函数. 【 】
,h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1. （D）ln2?1.
【 】
x?2xx（10）函数y?C1e?C2e?xe满足一个微分方程是
（A）y???y??2y?3xe.
xx（C）y???y??2y?3xe.
（B）y???y??2y?3e.
x（D）y???y??2y?3e.
x编辑版word
（11）设f(x,y)为连续函数，则
220??40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
01 （A）
??dx?dy?1?x2xf(x,y)dy. （B）
?220dx?1?x20f(x,y)dy.
（C）
2201?y2yf(x,y)dx. （D）
?220dy?1?y20f(x,y)dx. 【 】
（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?1y(x,y)?0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
（A）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （B）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （C）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （D）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
【 】
（13）设a1,a2,L,a,均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是
（A）若a1,a2,L,a,线性相关，则Aa1,Aa2,L,Aa,线性相关. （B）若a1,a2,L,a,线性相关，则Aa1,Aa2,L,Aa,线性无关. （C）若a1,a2,L,a,线性无关，则Aa1,Aa2,L,Aa,线性相关.
（D）若a1,a2,L,a,线性无关，则Aa1,Aa2,L,Aa,线性无关. 【 】
（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记
?110???P??010?，则
?001???（A）C?PAP.
（C）C?PAP.
T?1
（B）C?PAP. （D）C?PAP.
T?1三 解答题
15．试确定A，B，C的常数值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是当
x233x?0时比x3的高阶无穷小。
编辑版word
arcsinexdx 16．求?xe17．
设区域D??(x,y)x2?y2?1,x?0? 1?xy计算二重积分I???dxdy221?x?yD18．
设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?0,1,2,L)证明: (1) limxn?1存在,并求极限x??
x2(2)计算lim(n?1)xnx??xn19．
1证明: 当0 20 设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x?y22??2z?2z满足等式2?2?0 ?x?y(Ⅰ)验证f???u??f??u??0. u(Ⅱ)若f?1??0,f??1??1,求函数f?u?的表达式. ?x?l2?1,21 已知曲线L的方程为?2y?4l?t?（Ⅰ）讨论L的凹凸性； (t?0), （Ⅱ）过点（-1，0）引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积。 22 已知非齐次线性方程组 ?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解 ?ax?x?3x?bx?134?12Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2 Ⅱ求a,b的值及方程组的通解 编辑版word 23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax=0 TT的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ?A. T编辑版word 真题答案解析 一、填空题 （1）曲线y?x?4sinx的水平渐近线方程为 5x?2cosxy?15 4sinxx?1 Qlimy?limx??x??2cosx55?x1??1x2?3?sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x0 在x=0处连续，则a= ?a,x?0?sm(x2)1Qlimf(x)?lim? 2x?0x?03x3??13 （3）广义积分 ???0xdx?(1?x2)2??12 Q?0xdx1?(1?x2)22?0d(1?x2)11???(1?x2)22(1?x2)??0?0?11? 22 （4）微分方程y??y(1?x)的通解是xyy?cxe?x（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则 当x=0时，y=1， 又把方程每一项对x求导，y???e?xey? y?(1?xe)??eyyyydydxx?0??e y?x?0ey??1?xeyx?0y?1??e 二、选择题 （7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在点x0处的增量， ?y与dy分别为f(x)在点x0处对应增量与微分,若?x?0，则[A] （A）0?dy??y （C）?y?dy?0 （B）0??y?dy （D）dy??y?0 由f?(x)?0可知f(x)严格单调增加 编辑版word
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