【解答】解：（1）设{an}的公差为d， ∵S3=9，并且a2，a5，a14成等比数列， ∴
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． ∵Tn=
=（3n﹣1），∴Tn+1=（3n+1﹣1），
，解得a1=1，d=2．
∴bn+1=Tn+1﹣Tn=（3n+1﹣3n）=3?3n=3n+1． ∴bn=3n． （2）cn=∴Mn=+∴Mn=
+
++…++…+=
，① ，②
=
=
，
①﹣②得： Mn=1++++…+﹣=1+﹣=﹣，
∴Mn=﹣
．
19．2017年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式，Mobike Lite型（Lite版）每30分钟收0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算）．有甲、乙、丙三人相互对立的到租车点租车骑行（各租一车一次）．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟，甲、乙均租用Lite版单车，丙租用经典版单车．
（1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过30分钟还车．其概率P=
×
．
（2）ξ的取值可能为1.5，2，2.5，3．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过30分钟还车．其概率P=（2）ξ的取值可能为1.5，2，2.5，3．
P（ξ=1.5）=××=，P（ξ=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=
，
，
×=．
P（ξ=2.5）=（1﹣）×（1﹣）×+×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）=P（ξ=3）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=∴ξ的分布列为：
ξ P Eξ=1.5×+2×
20．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+lnx，其中a∈R． （1）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
1.5 ．
2 2.5 3 +2.5×+3×=．
（2）当a=0时，设g（x）=﹣xf（x）+2，是否存在区间[m，n]?（1，+∞）使得函数g（x）在区间[m，n]上的值域为[k（m+2），k（n+2）]？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）a=0时，求出函数的导数，问题转化为关于x的方程x2﹣xlnx+2=k（x+2）在区间（1，+∞）上是否存在两个不相等实根，即方程k=等实根，令h（x）=
在区间（1，+∞）上是否存在两个不相
，x∈（1，+∞），根据函数的单调性判断即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， ∵f′（x）=ax﹣（a+1）+=令f′（x）=0得：x=或x=1；
①若0＜a＜1，则x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，）时，f′（x）＜0，
，（a＞0），
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，1），（，+∞）递增，在（1，）上递减；
②a=1时，则x∈（0，+∞）时，f′（x）≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0， 故函数f（x）在（0，+∞）递增；
③若a＞1时，则x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，1）时，f′（x）＜0， x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数z在（0，），（1，+∞）递增，在（，1）递减，
综上，0＜a＜1时，f（x）在（0，1），（，+∞）递增，在（1，）递减； a=1时，f（x）在（0，+∞）递增，无递减区间；
a＞1时，f（x）在（0，），（1，+∞）递增，在（，1）递减；
（2）a=0时，f（x）=lnx﹣x，g（x）=x2﹣xlnx+2，∴g′（x）=2x﹣lnx﹣1， 令ω（x）=g′（x），则ω′（x）=2﹣＞0， ?x∈（1，+∞），g′（x）在（1，+∞）递增， ∴?x∈（1，+∞），有g′（x）＞g′（1）=1＞0， 即函数g（x）在区间（1，+∞）递增， 假设存在区间[m，n]?（1，+∞），
使得函数g（x）在区间[m，n]上的值域是[k（m+2），k（n+2）]， 则
，
问题转化为关于x的方程x2﹣xlnx+2=k（x+2）在区间（1，+∞）上是否存在两个不相等实根，
即方程k=令h（x）=
在区间（1，+∞）上是否存在两个不相等实根， ，x∈（1，+∞），h′（x）=
，
＞0，x∈（1，+∞），
令p（x）=x2+3x﹣2lnx﹣4，x∈（1，+∞），则p′（x）=
故p（x）在（1，+∞）递增，故?x∈（1，+∞），p（x）＞p（1）=0，即h′（x）＞0， 故h（x）在区间（1，+∞）递增， 故方程k=
在区间（1，+∞）上不存在两个不相等实根，
综上，不存在区间[m，n]?（1，+∞）使得函数g（x）在区间[m，n]上的值域是[k（m+2），k（n+2）]．
21．设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y
．
的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；
（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点． ①证明：PA⊥PB；
②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kPA?kPB=﹣1，即可证明PA⊥PB；
②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2=k1k2=﹣．
【解答】解：（1）由抛物线x2=4y的焦点为（0，1）与椭圆C的一个短轴端点重合， ∴b=1，
由椭圆C的离心率e==∴椭圆的标准方程为：
=
，则a2=3，
，代入即可求得
，x2+y2=4；
（2）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），过点P过椭圆C的切线斜率存在且不为零， 设方程为y=kx+m，（k≠0），
由直线y=kx+m，过P（x1，y1），则m=y1﹣kx1，且x12+y12=4，
，消去y得：（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
△=36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣3）=0，整理得：m2=3k2+1，
将m=y1﹣kx1，代入上式关于k的方程（x12﹣3）k2﹣2x1y1k+y12﹣1=0，（x12﹣3≠0）， 则kPA?kPB=
=﹣1，（x12+y12=4），
当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立， ∴PA⊥PB，
②当直线PQ的斜率存在时，
由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，
，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，
则△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），将m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣
，x1?x2=
，
∴k1k2===，
=，
将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣， 当直线PQ的斜率不存在时，易证k1k2=﹣， ∴综上可知：k1k2=﹣．
相关推荐：
loading