我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?
学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.
本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
[设计意图] 通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程. 导入二:
(出示本章农田鸟瞰图)
观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?
学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本章主要研究对象——平行四边形. [过渡语] 下面我们来认识特殊的四边形——平行四边形. [设计意图] 以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的形状,通过查找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.
1.平行四边形的定义 思路一
提问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?
教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据. 追问:平行四边形如何好记好读呢?
画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.
平行四边形用“?”表示,平行四边形ABCD,记作“?ABCD”.
如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.
对边:AD与BC,AB与DC;对角:∠A与∠C,∠B与∠D.
进一步引导学生总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.
[设计意图] 给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备. 思路二
请举出你身边存在的平行四边形的例子.
学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏??
教师点评,画出图形,如右图所示.
提问:(1)你能说出平行四边形的定义吗? (2)你能表示平行四边形吗?
(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?
学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:
(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一个四边形;②两组对边分别平行.
(2)指出表示平行四边形错误的情况,如?ACDB.
(3)作为性质:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD. 作为判定:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
[设计意图] 学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:两组对边分别平行.
2.平行四边形边、角的性质 思路一 [过渡语] 同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么? 一起回顾全等三角形的学习过程,得出研究的一般过程:先给出定义,再研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.
提问:平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?
教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想. 猜想1:四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC. 猜想2:四边形ABCD是平行四边形,那么∠A=∠C,∠B=∠D. 追问:你能证明这些结论吗?
学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2. ∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°, ∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°, ∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明. [过渡语] 我们知道,利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线段相等、角相等的一种重要方法.
学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示. 证明:连接AC. ∵AD∥BC,AB∥CD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边, ∴△ABC≌△CDA.
∴AD=CB,AB=CD. ∠B=∠D.
∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3, ∠1+∠4=∠2+∠3, ∴∠BAD=∠DCB.
引导学生归纳平行四边形的性质: 平行四边形的对边相等; 平行四边形的对角相等.
追问:通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?
教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式: ∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等), ∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
[设计意图] 让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路. [知识拓展] (1)运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.(2)四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.
(教材例1)如图所示,在?ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.
引导学生分析:要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED=∠CFB=90°,再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C,AD=CB. 又∠AED=∠CFB=90°, ∴△ADE≌△CBF. ∴AE=CF.
[设计意图] 应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.
思路二
1.提问:根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,它的边、角之间还有哪些关系?度量一下,是不是和你的猜想一致? AB= BC= CD= AD= 猜想: ∠∠∠∠A= B= C= D= 猜想: 小组合作完成,交流自己的猜想.
教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳: 平行四边形的对边相等; 平行四边形的对角相等.
2.你能证明你发现的上述结论吗?
已知:如图(1)所示,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.
求证:(1)AD=BC,AB=CD; (2)∠B=∠D,∠BAD=∠DCB.
小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.
证明:(1)连接AC,如图(2)所示. ∵AD∥BC,AB∥CD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边, ∴△ABC≌△CDA. ∴AD=CB,AB=CD.
(2)∵△ABC≌△CDA(已证), ∴∠B=∠D.
∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3, ∠1+∠4=∠2+∠3, ∴∠BAD=∠DCB.
一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.
∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°, ∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°, ∴∠B=∠D.
同理可得∠BAD=∠DCB.
教师根据学生的证明情况进行评价、总结.
证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.
引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记. ∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等), ∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
(补充)如图,在?ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.
(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;
(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等? 学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.
因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠B=∠D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC. 教师根据学生回答,板书有关正确的结论.
解决第(2)个问题时,学生思考、交流、讨论得出:只要添加AC平分∠DAB即可.
说明理由:因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC. [设计意图] 学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用. 3.平行线间的距离
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