我们不妨设大儿子得到的田地(△AOD和△BOC)面积之和为S,过点O作EF⊥AD,交AD于F,交BC于E,由题意易得AD∥BC,∴EF⊥BC.S=S△AOD+S△BOC=AD·OF+BC·OE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC∴S=AD·(OF+OE)=AD·EF=S平行四边形ABCD.
由此可以看出,无论井在什么位置,甚至是在这块地的边上,两个儿子分得的土地大小都是一样的.我们不得不佩服这位农场主的智慧过人.
第
课时
1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.
在观察、操作、推理、归纳的探索活动中,进一步培养学生的数学说理能力与习惯.
通过小组合作探究学习,促进同学间的情感交流,体验学习的乐趣,在自我评价中学会自我肯定,增强学习的自信心.
【重点】 平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用. 【难点】 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题. 【学生准备】 两张方格纸,铅笔,图钉.
导入一:
一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,
他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的:(如右图所示)
当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少,同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?
本节课,我们将继续学习与平行四边形的对角线有关的性质,你将会明白老人的分法是否合理.
[设计意图] 把知识融入到故事情境中,提高学生的学习兴趣. 导入二:
1.复习提问:
(1)什么样的四边形是平行四边形?
(2)前面我们学习过平行四边形的什么性质? 学生自由说,教师根据学生回顾情况梳理知识.
①具有一般四边形的性质(内角和是360°). ②角:平行四边形的对角相等,邻角互补. 边:平行四边形的对边平行且相等. 2.回顾思考:
(1)平行四边形ABCD中,∠A比∠B大20°,则∠C的度数为 ( ) A.60° B.80° C.100° D.120°
(2)平行四边形ABCD的周长为40cm,三角形ABC的周长为25cm,则对角线AC的长为 ( )
A.5cm B.15cm C.6cm D.16cm
(3)平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于O,则全等三角形的对数有 . 学生独自思考,交流解答情况.教师适当点评. (1)C (2)A (3)4对
画出图形,针对(3)小题学生的错误提问:为什么(3)小题中全等三角形的对数不是2对,而是4对呢?通过今天的学习,你会明白其中的原因.
[设计意图] 以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四边形的性质,温故知新.通过(1)~(3)的问题串,反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用.希望真实、客观地反馈学生对上节“平行四边形性质”的掌握情况,并有针对性地在本节补救强化. [过渡语] 上节课我们研究了平行四边形的边和角的关系,平行四边形中还有一种重要的线段,这就是对角线,平行四边形对角线之间有什么关系呢? 1.平行四边形的对角线互相平分 思路一 【探究】 请大家在方格纸上画两个全等的?ABCD和?HGFE,并连接对角线AC,BD和EG,HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形放在一起,让它们重合,在点O处钉一个图钉,将?ABCD绕点O旋转180°,观察它还和?HGFE重合吗?你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?
学生按照要求操作,围绕问题讨论,发现: 是否重合 边 角 对角线 旋转?ABCD和?HGFEAB与GH,CD与EF互相重∠ABC与∠HGF,∠ADC与∠OA=OH,
合;AD与HE,BC与GF互相HEF,∠BAD与∠GHE,∠BCDOC=OF, 重合 与∠GFE互相重合 OB=OG, OD=OE OA=OF, AB与FE,CD与HG互相重∠ABC与∠HEF,∠ADC与∠旋转?ABCD和?HGFEOC=OH, 合;AD与FG,BC与EH互相HGF,∠BAD与∠GFE,∠BCD后 仍然重合 OB=OE, 重合 与∠GHE互相重合 OD=OG ∠HGF=∠HEF,∠GFE=∠结论 GH=EF,EH=GF OH=OF,OG=OE GHE 教师引导学生交流:旋转后,?ABCD与?HGFE还是完全重合的.平行四边形的对边相等,对角也是相等的,对角线互相平分. [过渡语] 上节课我们证明了平行四边形的对边相等,对角也相等.你能尝试证明平行四边形的对角线互相平分这一结论吗? 已知:如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. 求证:OA=OC,OB=OD. 前 重合
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥DC,
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO, ∴△AOB≌△COD, ∴OA=OC,OB=OD.
你还有其他的证明方法吗?与同伴交流.
教师引导学生总结,并板书:平行四边形的对角线互相平分. 用符号语言表述为:
∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC,OB=OD.
引导学生思考:平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于O,则全等三角形的对数有几对? 学生相互补充说出:△AOB与△COD,△BOC与△DOA,△ABC与△CDA,△ABD与△CDB分别全等,共有4对.
[设计意图] 利用活动的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,并加以验证. 思路二 [过渡语] 在上节课中,我们发现平行四边形边、角有特殊的关系,那么平行四边形的对角线有怎样的特殊关系呢?
【探究】 如图所示,在?ABCD中,连接对角线AC,BD,相交于点O,OB与OD有什么关系?OA与OC呢?
学生画图,测量后填表,交流. OA= OC= 关系为: OB= OD= 关系为: 学生思考、交流得出:平行四边形的对角线互相平分. 追问:互相平分如何理解?
一生回答,其余补充.AC与BD互相平分,指AC平分BD,即OB=OD,BD平分AC,即OA=OC.
(出示问题)已知?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中有哪些三角形全等?哪些线段相等?请同学们用多种方法加以验证.
学生互相讨论自己的思维,并交流不同的验证思路.
用“AAS”或“ASA”可以证明图中共有四对三角形全等,分别是△AOB≌△COD,△BOC≌△DOA,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.相等的线段有:OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB. 师生归纳:平行四边形的对角线互相平分.
学生说出定理的题设和结论,用符号语言表述为:
∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC,OB=OD.
教师提醒:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理的运用时则没必要这么麻烦,直接由四边形是平行四边形得出其对角线互相平分,这是证明线段相等的常用方法.
[设计意图] 学生通过操作感知,辅以三角形全等知识的应用,发现、验证了所要学习的内容,解决了重点,突破了难点. 2.例题讲解 (补充)如图所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.
求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.
学生讨论:由刚刚得出的结论“平行四边形的对角线互相平分”,得到OA=OC,继而得到△AOE≌△COF(AAS),从而得证. 证明:在?ABCD中,AB∥CD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又 OA=OC(平行四边形的对角线互相平分), ∴ △AOE≌△COF(AAS).
∴OE=OF,AE=CF(全等三角形对应边相等). ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD(平行四边形对边相等). ∴AB-AE=CD-CF, 即 BE=FD.
引申提问:若例1中的条件都不变,将EF转动到如图①所示的位置,那么例1中的结论是否成立?若将EF向两方延长,与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图②和图③所示),例1中的结论是否成立?说明你的理由.
分别由一名学生说说自己分析的结果,证明过程留在课后完成.
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