(教材例2)如图所示,在?ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求BC,CD,AC,OA的长,以及
?ABCD的面积.
引导学生读题,强调“底”是对应着高说的,平行四边形中,任一边都可以作为“底”,“底”确定后,高也就随之确定了.
学生共同分析:由平行四边形的对边相等,可得BC,CD的长,在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长,根据平行四边形的面积计算公式:平行四边形的面积=底×高(高为此底上的高),可求得?ABCD的面积. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD=8,CD=AB=10. ∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形. 根据勾股定理, AC===6. 又OA=OC, ∴OA=AC=3,
S?ABCD=BC·AC=8×6=48.
师生共同完成解答过程,并说明用S表示面积时,常在它的下脚注上图形标记,例如S?ABCD表示?ABCD的面积.
[设计意图] 本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,它是平行四边形对角线的性质的直接运用,然后对例1进行了引申,可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:过平行四边形对角线的交点作直线,交对边或对边的延长线,所得的对应线段相等.例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉本节的性质对解答复杂问题是很有帮助的.例2是教材第44页的例2,这是复习、巩固小学学过的平行四边形面积的计算.这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步,需要应用勾股定理,先求得平行四边形一边上的高,然后才能应用公式计算.在以后的解题中,还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题,在教学中要注意使学生掌握其方法.
[知识拓展] (1)利用平行四边形的对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题,在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”来解决.(2)若一条直线过平行四边形的两条对角线的交点,则这条直线被一组对边所截线段以对角线的交点为中点,且这条直线平分该平行四边形的面积.(3)在平行四边形中,被对角线所分成的四个小三角形,相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差.
师生共同整理平行四边形性质等知识. 名称 平行四边形 图形 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边 角 对角线 性质 平行四边形的对边平行;对对角相等;邻角互对角线互相平分 边相等 补
1.判断对错.
(1)在?ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD. ( )
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( ) (3)平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( ) (4)平行四边形是轴对称图形. ( )
解析:(1)在?ABCD中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,故AO=OB=OC=OD是错误的.(2)由全等三角形的性质可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.(3)由平行四边形的性质,可知平行四边形的两组对边分别平行且相等.(4)平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.
答案:(1)? (2)√ (3)√ (4)?
2.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是 ( ) A.18 B.28 C.36 D.46
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=5,∵△OCD的周长为
23,∴OD+OC=23-5=18,∵BD=2DO,AC=2OC,∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=36.故选C. 3.如图所示,在平行四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,则与△AOD全等的是 .
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO,OA=OC,∴△AOD≌△COB.故填△COB. 4.如图所示,?ABCD的两条对角线相交于O,OA,OB,AB的长度分别为3cm,4cm,5cm,求其他各边以及两条对角线的长度.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD,又
222
∵OA=3cm,OB=4cm,AB=5cm,∴AC=6cm,BD=8cm,CD=5cm,∵△AOB中,3+4=5,即
AO2+BO2=AB2,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴在Rt△AOD中,OA2+OD2=AD2,∴AD=5cm,BC=5cm.答:这个平行四边形的其他各边都是5cm,两条对角线长分别为6cm和8cm.
第2课时
1.平行四边形的对角线互相平分. 2.例题讲解 例1 例2
一、教材作业 【必做题】
教材第44页练习第1,2题. 【选做题】
教材第49页习题18.1第3题. 二、课后作业 【基础巩固】
1.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为 ( )
A.4 2.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的长最小是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图所示,在周长为20cm的平行四边形ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为 ( ) A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 4.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为 . 5.如图(1)所示,?ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABE沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,如图(2)所示,若点B的落点记为B',则DB'的长为 . 6.平行四边形ABCD的周长等于48. (1)已知一边长12,求各边的长; (2)已知AB=2BC,求各边的长; (3)已知对角线AC,BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长. 7.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求AD和AC的长度. 8.在平行四边形ABCD中,∠A=150°,AB=8cm,BC=10cm,求平行四边形ABCD的面积. 【能力提升】 9.如图,在平行四边形ABCD中,平行于对角线AC的直线MN分别交DA,DC的延长线于M,N,交BA,BC于点P,Q,你能说明MQ=NP吗? 10.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,AB⊥AC,∠DAC=45°,AC=2,求BD的长. 【拓展探究】 11.如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O. (1)图中有哪些全等的三角形?有哪些相等的线段? (2)若平行四边形ABCD的周长是24cm,△AOD的周长比△ABO的周长大2cm,求AB,AD的长. 【答案与解析】 1.B(解析:两条对角线的一半与长为10的边构成一个三角形,由三角形的三边关系可得10-3<<10+3,化简得14 2.B(解析:设AC与DE相交于O,∵四边形ADCE是平行四边形,∴OD=OE,OA=OC.∴当OD的长最小时,DE的长最小,此时BC⊥DE,∵AB⊥BC,∴AB∥DE,又∵AE∥BC,∴四边形ABDE是平行四边形,∴ED=AB=3.故选B.) 3.D(解析:根据平行四边形的性质得OB=OD,又EO⊥BD,根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得BE=DE,故△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10(cm).故选D.) 4.6(解析:平行四边形的两条对角线交于一点,这个点是平行四边形的中心,平行四边形被对角线分成的四个三角形的面积相等,并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形,由于四边形ABCD是平行四边形,所以∠CAD=∠ACB,OA=OC,又因为∠AOM=∠CON,所以△CON ≌△AOM,从而可以求出S△AOD=4+2=6.再根据O是DB中点可以求出S△AOB=S△AOD=6.) 5.(解析:将△ABE沿AC所在直线翻折180°,则有BE=B'E,∠AEB=∠AEB'=45°,∴∠BEB'=∠DEB'=90°,由题意知BE=DE=B'E=1,∴在Rt△DEB'中,DB'==.)
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