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苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
二次根式（提高）知识讲解
【学习目标】
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a≥0，（a≥0），0），并利用它们进行计算和化简． 【要点梳理】
要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，式子(a≥0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 要点诠释：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，
这些式子，用基本的运算符号(基
（a≥0），
（a≥
本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们
称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a≥0，（a≥0）； 2.
（a≥0）；
3.
要点诠释： 1.二次根式
.
(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即a?(a)2(a≥0）.
2.a2与(a)2要注意区别与联系：
（1）a的取值范围不同，(a)2中a≥0，a2中a为任意值. （2）a≥0时，(a)2=a2=a；a<0时，(a)2无意义，a2=?a. 【典型例题】
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类型一、二次根式的概念
1．（2015?启东）若x、y为实数，且y?x2?4?4?x2?1，求x?yx?2x?y的值．
【答案与解析】∵y=
∴x﹣4=0，x+2≠0， 解得：x=2， ∴y=，
2
，
∴x?yx?y?2?113737?2????． 44224【总结升华】主要考查了二次根式有意义的条件，得出x，y的值是解题关键． 举一反三：
【变式】方程4x?8?x?y?m?0，当y?0时，m的取值范围是（ ）.
A．0?m?1 B.m≥2 C.m?2 D.m≤2
【答案】C
类型二、二次根式的性质
2.根据下列条件，求字母x的取值范围：
(1)
【答案与解析】
解：(1)
； (2).
(2)
【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三：
【二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】
【变式1】x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）y=?x－
1,__________；（2）y=x2?2x?2，___________. x?1资料来源于网络 仅供免费交流使用
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【答案】(1)?x≥0，x?1?0?x≤0且x??1
（2）
x2?2x?2?(x?1)2?1?0,?x为任意实数.
【变式2】问题探究： 因为 因为
，所以，所以
，
请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式： （1）【答案】 解：（1） = = （2） = =
． ；
；（2）
．
3.（2016春?濮阳期末）先阅读，后解答： （1）由根式的性质计算下列式子得： ①
=3，②
=，③
=，④
=5，⑤
=0．
由上述计算，请写出的结果（a为任意实数）．
（2）利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①②化简：（3）应用： 若
+
=3，则x的取值范围是 ．
= ；
（x＜2）= ．
【思路点拨】（1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果；
（2）①当a=3，14﹣π＜0时，根据（1）中的结论可知，得其相反数﹣a，即得π﹣3.14；
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②先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果； （3）根据（1）式得：
+
=|x﹣5|+|x﹣8|，然后分三种情况讨论：①
当x＜5时，②当5≤x≤8时，③当x＞8时，分别计算，哪一个结果为3，哪一个就是它的取值． 【答案与解析】
解：（1）=|a|=；
（2）①
②=
=|x﹣2|， ∵x＜2， ∴x﹣2＜0， ∴
=|3.14﹣π|=π﹣3.14， （x＜2）， ，
=2﹣x；
故答案为：①π﹣3.14，②2﹣x； （3）∵
+
=|x﹣5|+|x﹣8|，
①当x＜5时，x﹣5＜0，x﹣8＜0， 所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x． ②当5≤x≤8时，x﹣5≥0，x﹣8≤0． 所以原式=x﹣5+8﹣x=3，
③当x＞8时，x﹣5＞0，x﹣8＞0， 所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13． ∵
+
=3，
所以x的取值范围是5≤x≤8， 故答案为：5≤x≤8．
【总结升华】本题考查了二次根式的性质和化简，明确二次根式的两个性质：①（
）=a
2
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（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）；②=|a|=；
尤其是第2个性质的运用，注意被开方数是完全平方式时，如第（3）小题，要分情况进行讨论．
【二次根式及其乘除法（上）例4】
4.已知a,b,c为三角形的三边，
则(a?b?c)2?(b?c?a)2?(b?c?a)2= ． 【思路点拨】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边． 【答案】a?b?c 【解析】
a,b,c为三角形的三边,?a?b?c?0,b?c?a?0,b?c?a?0
即原式=a?b?c?a?c?b?b?c?a=a?b?c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：形三边的性质.
的同时，复习了三角
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