2019江西中考数学考前专题训练—二次函数综合题(10道)

题型四 二次函数综合题 类型一 与图形规律有关的探究

问题

1. 先阅读，再解决问题． 平面直角坐标系下，一组有规律 的点：

A1(0，1)、A2(1，0)、A3(2，1)、A4(3，0)、A5(4，1)、A6(5，0)，…，注：当n为奇数时，An(n－1，1)，n为偶数时An(n－1，0)． 抛物线C1经过A1，A2，A3三点，抛物线C2经过A2，A3，A4三点，抛物线C3经过A3，A4，A5三点，抛物线C4经过A4，A5，A6三点，…，此抛物线Cn经过An，An＋1，An＋2. (1)直接写出抛物线C1，C4的解析式；

(2)若点E(e，f1)，F(e，f2)分别在抛物线C27，C28上，当e＝29时，求证△A28EF是直角三角形；

(3)若直线x＝m分别交x轴、抛物线C2015，C2016于点P、M、N，作直线A2016M，A2016N，当∠PA2016M＝45°时，求sin∠PA2016N的值． 解：(1)由顶点式求出C1的解析式为：y1＝(x－1)2，C4的解析式为：y4＝

－(x－4)2＋1；

【解法提示】由题意可知抛物线C1过A1，A2，A3三点，抛物线C4过A4，A5，A6三点，将这些点代入顶点式可求出C1和C4的解析式分别为y1＝(x－1)2，y4＝－(x－4)2＋1.

(2)证明：由特殊出发，可以发现这组抛物线解析式的特点： y1＝(x－1)2， y2＝－(x－2)2＋1， y3＝(x－3)2， y4＝－(x－4)2＋1， …

∴抛物线C27、C28的解析式为：y27＝(x－27)2，y28＝－(x－28)2＋1. 如解图①，此时点E(e，f1)、F(e，f2)分别为点E(29，4)，F(29，0)；而点A28的坐标是(27，0)．

第1题解图①

显然△A28EF是直角三角形；

(3)由(2)中发现的规律可知，抛物线C2015，C2016解析式为：y2015＝(x－2015)2，y2016＝－(x－2016)2＋1，

顺便指出，由(2)的规律发现，可以退回简单的抛物线C3，C4的情况来研究，分以下两种情况，如解图②，

当m＝2014时，M(2014，1)此时有∠PA2014M＝45°，N(2014，－3)，310相应的sin∠PA2016N的值为10；

如解图③，在A(2015，0)点右侧，当m＝2016时，M(2016，1)，此

2

时有∠PA2016M＝45°，N(2016，1)，相应的sin∠PA2016N的值为2.

第1题解图

11

2. 已知，如图，直线l：y＝3x＋b，经过点M(0，4)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，Bn(n，yn)(n为正整数)依次在直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，An＋1(xn＋1，0)，设x1＝d(0

(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)； (3)当d(0

第2题图

11解：(1)∵M(0，4)在直线y＝3x＋ b上，

11

∴4＝3×0＋b， 1∴b＝4；

11

(2)由(1)得：y＝3x＋4， ∵B1(1，y1)在l上，

117

∴当x＝1时，y1＝3×1＋4＝12， 7

∴B1(1，12)．

7

∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋12(a≠0)， 又∵x1＝d， ∴A1(d，0)， 7

∴0＝a(d－1)2＋12， 7

∴a＝－，

12（d－1）2

∴经过点A1，B1，A2的抛物线的解析式为： 772

y＝－(x－1)＋12；

12（d－1）2【一题多解】∵x1＝d， ∴A1(d，0)，A2(2－d，0)，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x－d)·(x－2＋d)(a≠0)， 77

把B1(1，12)代入得12＝a(1－d)·(1－2＋d)，

得a＝－

7

，

12（d－1）2∴抛物线的解析式为

7

y＝－(x－d)·(x－2＋d)．

12（d－1）2(3)存在．

由抛物线的对称性可知，所构成的三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，

∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半， 又∵0

∴等腰直角三角形斜边的长小于2，

∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.

117

∵当x＝1时，y1＝3×1＋4＝12<1， 1111

当x＝2时，y2＝3×2＋4＝12<1， 111

当x＝3时，y3＝3×3＋4＝14>1， ∴该抛物线的顶点只有B1，B2， 7

①若B1为顶点，由B1(1，12)， 75

则d＝1－12＝12；

11

②若B2为顶点，由B2(2，12)，

1111

则d＝1－[(2－12)－1]＝12，

511

综上所述，d的值为12或12时，存在满足条件的抛物线．

3. 如图①，抛物线C：y＝x2经过变化可得到抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)，C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C，C1于点B1，D1，此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图②，抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)经过变换可得到抛物线C2：y2＝a2x(x－b2)，C2与x轴的正半轴交与点A2，且其对称轴分别交抛物线C1，C2于点B2，D2，此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图③，可得抛物线C3：y3＝a3x(x－b3)与正方形OB3A3D3.请探究以下问题：

(1)填空：a1＝________；b1＝________； (2)求出C2与C3的解析式；

(3)按上述类似方法，可得到抛物线Cn：yn＝an(x－bn)与正方形OBnAnDn(n≥1)．

①请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；

②当x取任意不为0的实数时，试比较y2016与y2017的函数值的大小并说明理由．

第3题图

解：(1)1；2；

【解法提示】由抛物线C经过变换得到抛物线C1，则a1＝1，代入C1得：y1＝x(x－b1)．y1＝0时，x(x－b1)＝0，x1＝0，x2＝b1，∴A1(b1，0)，

b1b1由正方形OB1A1D1得：OA1＝B1D1＝b1，∴B1(2，2)，∵B1在抛物线b1b1C上，则2＝(2)2，b1(b1－2)＝0，b1＝0(不符合题意)，b1＝2. (2)由a2＝a1＝1得，y2＝x(x－b2)， y2＝0得，x(x－b2)＝0， x1＝0，x2＝b2. ∴A2(b0，0)．

由正方形OB2A2D2得：OA2＝B2D2＝b2， b2b2∴B2(2，2)，

b2b2b2∵B2在抛物线C1上，则2＝(2)2－2×2， b2(b2－6)＝0，b2＝0(不合题意)， ∴b2＝6，

∴C2的解析式：y2＝x(x－6)＝x2－6x， 由a3＝a2＝1得，y3＝x(x－b3)， y3＝0时，x(x－b3)＝0， x1＝0，x2＝b3， ∴A3(b3，0)，

由正方形OB3A3D3得：OA3＝B3D3＝b3 b3b3∴B3(2，2)，

b3b32b3∵B3在抛物线C2上，则2＝(2)－6×2， b3(b3－14)＝0，

b3＝0(不合题意)，b3＝14，

∴C3的解析式：y3＝x(x－14)＝x2－14x； (3)①Cn的解析式为：yn＝x2－(2n＋1－2)x(n≥1)；

②由①得抛物线C2016的解析式为：y2016＝x2－(22016＋1－2)x＝x2－(22017－2)x，

抛物线C2017的解析式为：y2017＝x2－(22017＋1－2)x＝x2－(22018－2)x， ∴两抛物线的交点为(0，0)．

∴当x<0时，y20160时，y2016>y2017.

类型二 与图形变换有关的探究

问题

4. 已知抛物线y＝x2－2ax＋a2(a为常数，a>0)，G为该抛物线的顶点． (1)如图①，当a＝2时，抛物线与y轴交于点M，求△GOM的面积； (2)如图②，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后，所得新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，D为x轴的正半轴上一点，以OD为一对角线作平行四边形OQDE，其中Q点在第一象限，QE交OD于点C，若QO平分∠AQC，AQ＝2QC.求证：△AQO≌△EQO； (3)在(2)的条件下，若QD＝OG，试求a的值．

第4题图

解：(1)当a＝2时，令x＝0，则y＝a2＝4， ∴点M(0，4)，

∵y＝x2－2ax＋a2＝(x－a)2， ∴当a＝2时，顶点G(2，0)， ∴OM＝4，OG＝2，

11

S△GOM＝2OM·OG＝2×4×2＝4；

(2)证明：∵四边形OQDE为平行四边形， 1

∴QC＝CE＝2QE， 又∵AQ＝2QC， ∴AQ＝EQ， ∵QO平分∠AQC， ∴∠AQO＝∠EQO， ∵在△AQO和△EQO中， AQ＝EQ??

?∠AQO＝∠EQO， ??QO＝QO

∴△AQO≌△EQO(SAS)；

(3)∵由题意知G(a，0)， ∴OG＝a， ∵QD＝OG， ∴QD＝a，

∵四边形OQDE为平行四边形， ∴OE＝QD＝a， 即A(0，a)，

由旋转知，旋转前抛物线点A的坐标为(2a，a)， 把(2a，a)代入y＝x2－2ax＋a2得，4a2－2a·2a＋a2＝a， 即a2＝a， 解得a＝1或0. ∵a为常数，a>0， ∴a＝0不合题意，舍去， ∴a＝1.

5. 如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx过(－2，4)，(－4，4)两点． (1)求二次函数y1的解析式；

(2)将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y＝m(m>0)交y2于M、N两点，求线段MN的长度(用含m的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y＝m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点(C在左侧)，直线y＝－m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点(E在左侧)，求证：四边

形CEFD是平行四边形．

第5题图

解：(1)将点(－2，4)，(－4，4)代入y1＝ax2＋bx，得

?a＝－??4a－2b＝42， ?，解得?

??16a－4b＝4

?b＝－3

1

∴y1＝－2x2－3x；

19

(2)将y1配方，得y1＝－2(x＋3)2＋2， 9

∴顶点坐标是(－3，2)．

9

此顶点沿x轴翻折(－3，－2)，再向右平移2个单位后的点是(－1，9－2)．

翻折后抛物线的方向改变，但开口大小不变，∴翻折后抛物线解析式1

的二次项系数是2. 19122

∴y2＝2(x＋1)－2，即y2＝2x＋x－4.

12

令y2＝m，得2x＋x－4＝m，即x2＋2x－2(4＋m)＝0.

1

设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2(4＋m)． ∵x1，x2是点M，N的横坐标， ∴MN＝|x1－x2|

＝（x1＋x2）2－4x1x2

＝4＋8（4＋m）＝29＋2m； (3)设点A的纵坐标为y0. 9

①当y0≤m＜2时，如题图．

1

对于直线y＝m和函数y1＝－2x2－3x，由第(2)问的方法求得CD＝29－2m.

1

对于直线y＝－m和函数y2＝2x2＋x－4，由第(2)问的方法可知EF＝29－2m. ∴CD＝EF. 又CD∥EF，

∴四边形CEFD是平行四边形．

②当0＜m＜y0时，如解图，此时直线y＝m与y1的右交点为D，与y1的左交点为C，直线y＝－m与y2的右交点为F，与y2的左交点为E.

第5题解图

?y＝m，

由方程组? 12

?y＝－2x－3x

1

消去y，得－2x2－3x＝m，即x2＋6x＋2m＝0. 解此方程，得x＝－3±9－2m. 点D的横坐标为xD＝－3＋9－2m.

?y＝m，

由方程组?12，消去y，得

?y＝2x＋x－4

122x＋x－4＝m，即x＋2x－2(4＋m)＝0. 2

解此方程，得x＝－1±9＋2m. 点C的横坐标为xC＝－1－9＋2m. ∴EF＝xD－xC＝9－2m＋9＋2m－2. 同理，xF＝－3＋9＋2m，xE＝－1－9－2m. ∴CD＝xF－xE＝9－2m＋9＋2m－2. ∴CD＝EF.

∴四边形CEFD是平行四边形．

综上所述，当m＞0时，所构成的四边形CEFD是平行四边形．

3

6. 如图①，已知抛物线L：y＝ax＋bx－2(a>0)与x轴交于点A(－1，

2

0)和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x＝1.

3

(1)直接写出点B的坐标及一元二次方程ax＋bx－2＝0的解；

2

(2)如图②，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移，使它的顶点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N.设点P的横坐标为m.

①当m＝5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由． ②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？ ③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第6题图

3

解：(1)如解图①，∵y＝ax＋bx－2(a>0)与x轴交于点A(－1，0)和点

2

B，对称轴为直线l：x＝1，

∴点A和点B关于直线l：x＝1对称， ∴点B的坐标为(3，0)，

3

∴一元二次方程ax＋bx－2＝0的解为x1＝－1，

2

x2＝3；

(2)如解图②，过点P作PC⊥l于点C，

第6题解图

1

①∵y＝2(x－1)2－2， ∴当m＝5, 即x＝5, y＝6， ∴P(5，6)，

1

∴此时L′的解析式为y＝2(x－5)2＋6，点C的坐标是(1，6)． ∵当x＝1时，y＝14， ∴点N的坐标是(1，14)，

∵CM＝6－(－2)＝8，CN＝14－6＝8， ∴CM＝CN，

∴PC垂直平分线段MN， ∴PM＝PN；

②PM＝PN仍然成立，

123

由题意有点P的坐标为(m，2m－m－2)． 11232

∵L′的解析式为y＝2(x－m)＋2m－m－2，

123

∴点C的坐标是(1，2m－m－2)， 123121

∴CM＝2m－m－2＋2＝2m－m＋2， 113

∵在L′的解析式y＝2(x－m)2＋2m2－m－2中， ∴当x＝1时，y＝m2－2m－1， ∴点N的坐标是(1，m2－2m－1)，

1311

∴CN＝(m2－2m－1)－(2m2－m－2)＝2m2－m＋2， ∴CM＝CN，

∴PC垂直平分线段MN， ∴PM＝PN；

③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形． CN1213若PC＝tan30°，则2m－m＋2＝3(m－1)， 23＋3

解得m＝3或m＝1(不合题意，舍去) 23＋34

∴点P的坐标为(3，－3)．

类型三 二次函数性质的探究问题

7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(0，3)，B(4，0)两点．

(1)用仅含字母a的式子表达这个二次函数的解析式；

(2)该二次函数的对称轴不可能是( )，并对你的选择进行证明．

A. x＝0 B. x＝1 C. x＝2 D. x＝3

(3)以－a代替(1)中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解 析式．

①二次函数y′的图象是否也经过A，B两点？请说明理由；

②当x＝t(0≤t≤4)时，求|y－y′|的最大值(用仅含字母a的式子表示)． 解：(1)将A(0，3)，B(4，0)两点坐标分别代入二次函数y＝ax2＋bx＋

??c＝3c(a≠0)得?，

?16a＋4b＋c＝0?

?b＝－4a－3

4， 解得?

?c＝3

3

∴该二次函数的解析式为y＝ax2－(4a＋4)x＋3； (2)C；

【解法提示】对称轴为x＝ 3

－（4a＋4）

3

－＝2＋2a8a≠2，故选C.

(3)①二次函数y′图象经过A、B两点，理由如下： y′＝－ax2＋bx＋c，

3

由(1)可得y′＝－ax－(－4a＋4)x＋3，

2

将x＝0代入解析式得，y′＝3，故点A(0，3)在抛物线上；

将x＝4代入解析式得，y′＝－16a＋16a－3＋3＝0，故点B(4，0)在抛

物线上；

332

②|y－y′|＝|ax－(4a＋4)x＋3－[－ax－(－4a＋4)x＋3]|＝|2ax2－8ax|

2

＝|2a(x2－4x＋4－4)|＝|2a(x－2)2－8a|， 即|y－y′|＝|2a(x－2)2－8a|，

当x＝t(0≤t≤4)时，|y－y′|的最大值为|－8a|， 故|y－y′|的最大值为|－8a|.

8. 已知函数关系式是L1：y＝kx2＋(k－2)x－2. (1)①当k＝1时，其顶点坐标为________；

②当k＝2时，二次函数的图象的对称轴为________． (2)求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点； (3)已知二次函数L1的图象与x轴相交于点A，B，顶点为P. ①若k>0，且△ABP为等边三角形，求k的值；

②若抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称，且抛物线L2与x轴交于点C，D，是否存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由． 19

(1)解：①(2，－4)；②y轴；

129

【解法提示】①当k＝1时，y＝x－x－2＝(x－2)－4，此时顶点坐标

2

19为(2，－4)；

②当k＝2时，y＝2x2－2，则抛物线的对称轴为y轴．

(2)证明：当k＝0时，一次函数y＝－2x－2与x轴有一个交点(－1，0)；

当k≠0时，b2－4ac＝(k－2)2－4k·(－2)＝(k＋2)2≥0，此二次函数图象与x轴有交点，

∴无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点； (3)∵k≠0，

2∴当y＝0时，kx2＋(k－2)x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝k， 2

设A(k，0)，B(－1，0)， 2－k

则顶点P的坐标为(2k， （k＋2）2－)， 4k

2

①当k>0时，AB＝k＋1，如解图，作PE⊥x轴于点E，

第8题解图

∵△ABP为等边三角形， 3

∴PE＝2AB，

（k＋2）232∴＝4k2(k＋1)，

即(k＋2)2＝23(k＋2)，

解得k1＝－2(舍去)，k2＝23－2， ∴k的值为23－2；

②存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点．

∵抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称， ∴点A和点B关于原点的对称点分别为点C、D， 2

∴C(－k，0)，D(1，0)，

22

∴点B(－1，0)，D(1，0)为定点，点A(k，0)，C(－k，0)为动点， A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点， 当k>0时，

当点B、D为线段AC的三等分点时，AC＝3BD， 222即k－(－k)＝3×2，解得k＝3；

1221

当点A、C点为线段BD的三等分点时，AC＝3BD，即k－(－k)＝3×2，解得k＝6；

2

当k<0时，同理可得k＝－3或k＝ －6，

2

综上所述，k的值为±6. 3，±

类型四 与新定义有关的探究问题

9. 如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．

(1)在图①中，抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与L2：y＝a(x－4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a的值为________； (2)在图②中，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L4，若L3与y轴交于点C，点C关于L3的对称轴对称点为D，请求出以点D为顶点的L4的解析式；

(3)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．

第9题图

解：(2，1)，1；

【解法提示】(1)∵抛物线L1：y＝

－x2＋4x－3，∴此抛物线的顶点坐标A(2，1)，∵抛物线L2过点A(2，1)，∴1＝a(2－4)2－3，∴a＝1.

(2)由L3：y＝2x2－8x＋4化成顶点式，得y＝2(x－2)2－4， ∴C(0，4)，对称轴为x＝2，顶点坐标(2，－4)，

∴点C关于对称轴x＝2的对称点D(4，4)，设L4：y＝a(x－h)2＋k 将顶点D(4，4)代入得，y＝a(x－4)2＋4再将点(2，－4)代入得，－4＝4a＋4， 解得：a＝－2，

L3的伴随抛物线L4的解析式为：y＝－2(x－4)2＋4； (3)a1＝－a2.

理由如下：∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，设A(m，k)，B(h，n)， ∴可以列出两个方程

2???n?am?h?k①?2， ?2??k?a1?h?m??n②①＋②得：(a1＋a2)(m－h)2＝0， ∵伴随抛物线的顶点不重合， ∴a1＝－a2.

110. 在平面直角坐标系中，将抛物线L1：y＝2x2，沿x轴向右平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线L2，顶点为P，交L1于点Q. (1)直接写出抛物线L2的表达式(用字母m表示)；

(2)连接OQ、PQ，当∠OQP＝60°时，点Q的坐标为________； (3)若将抛物线L1与L2其中任意一条沿着x轴方向水平向左(或向右)平移得到另一条，记抛物线L1的顶点为O，抛物线L2的顶点为P，抛物线L1与L2的交点为点Q，连接OQ、PQ，当∠OQP＝90°时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线”．

①当L1和L2是“共轭抛物线”时，求m的值；

②请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”．

第10题图

1

解：(1)y＝2(x－m)2；

【解法提示】如解图①，将抛物线L1沿x轴向右平移m(m＞0)个单位1

长度，得到抛物线L2，得到：y＝2(x－m)2.

第10题解图①

(2)(23，6)；

【解法提示】如解图①，过点Q作QG⊥x轴于点G，由点Q到L111m

与L2的对称轴的距离相等，可得：OG＝PG＝2OP＝2m，当x＝2时，12112

y＝8m，即点Q的坐标为(2m，8m)，∵∠OQP＝60°，∴根据抛物线12

8mQG

的性质可知：△OPQ为等边三角形，∴tan∠QOP＝OG＝ tan60°＝1

2m

＝3，解得：

m＝43，∴点Q坐标为(23，6)． (3)①∵∠OQP＝90°，OQ＝PQ， 11∴∠QOG＝45°，OG＝PG＝2OP＝2m， 1111

当x＝2m时，y＝2×(2m)2＝8m2， 11

故点Q的坐标为(2m，8m2)，

由∠QOG＝45°，∠OGQ＝90°，得：OG＝GQ， 111

∴|2m|＝|2×(2m)2|，

解得：m＝0(不符合题意，舍去)， m＝±4，

当m＝4时，抛物线向右平移； 当m＝－4时，抛物线向左平移，

综上所述，当L1和L2是“共轭抛物线”时，m的值为±4； ②如解图②，∵y＝－x2－2x＋3＝ －(x＋1)2＋4，

第10题解图②

∴设抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”为：y＝－(x＋1－m)2

＋4，

∵△PFQ是等腰直角三角形，∴PF＝FQ， 112

当x＝－1＋2m时，y＝－4m＋4， 11

即Q(－1＋2m，－4m2＋4)， 11

FQ＝4－(－4m2＋4)＝4m2，

112

由PF＝FQ可知：m＝解得：m＝2或m＝0(不符合题意，舍去)， 24m，则抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移所得的“共轭抛物线”为：y＝－(x－1)2＋4；

综上所述，抛物线y＝－x2－2x＋3向左平移所得的“共轭抛物线”为：y＝－(x＋3)2＋4，

抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”为y＝－(x－1)2＋4或y＝－(x＋3)2＋4.

11. 如图，已知抛物线y＝－x2通过平移后得到，y1＝－(x－1)2＋2，y2＝－(x－2)2＋4，y3＝(x－3)2＋6，…，平移后的顶点P1，P2，P3，…，Pk(k为整数)依次都在格点上，这些抛物线称为“好顶点抛物线”．

第11题图

(1)写出平移后抛物线yk的解析式(用k表示)；

(2)若平移后的抛物线yk与抛物线y＝－x2交于点F，其对称轴与抛物1

线y＝－x交于点E，若tan∠FPkE＝3，求整数k的值；

2

(3)已知－6≤k≤6，若平移后抛物线的对称轴与x轴交于点Ak，以AkPk为边向右作正方形AkPkBkCk，判断：正方形的顶点Bk是否恰好是其他“好顶点抛物线”上的点？若恰好是，求出该整数k的值；若不存在，请说明理由．

第11题解图

解：(1)∵抛物线y＝－x2通过平移后得到，y1＝－(x－1)2＋2，y2＝－(x－2)2＋4，y3＝－(x－3)2＋6，观察规律可得到yk＝－(x－k)2＋2k； (2)如解图，过点F作FG⊥PE于 点G，

由yk＝－(x－k)2＋2k可知顶点Pk(k，2k)，

对称轴为直线x＝k，对称轴与抛物线y＝－x2的交点为E(k，－k2)，

2

??y＝－x联立得?， 2

?y＝－（x－k）＋2k?

?解得?，

（k－2）

?y＝－4

2

k－2x＝2

k－2（k－2）2

∴F(2，－)， 4

1

∵tan∠FPkE＝3， FG1∴PG＝3，即1＝，

（k－2）23|2k＋|4k－2|k－2|整理得6|k＋2|＝(k＋2)2， 解得k＝4或－8或－2，

当k＝－2时原方程无意义，故k＝－2不是原方程的根， ∴k的值为4或－8；

(3)∵平移后的抛物线的顶点Pk的坐标是(k，2k)，由题意得AkPk＝PkBk＝2|k|，

当k>0时，点Bk的坐标是(3k，2k)，

设Bk(3k，2k)恰好落在抛物线yk＝－[x－(k＋m)]2＋2(k＋m)上，则－[3k－(k＋m)]2＋2(k＋m)＝2k， 整理得(2k－m)2＝2m， 解得2k＝±2m＋m， ∵k，m为整数，

∴当m＝2时，k＝2或0(0不合题意，舍去)； 当m＝8时，k＝2或6；

当m＝18时，k＝6或12(12不合题意，舍去)， 当k<0时，则Bk的坐标是(－k，2k)，

设Bk(－k，2k)恰好落在抛物线yk＝－[x－(k＋m)]2＋2(k＋m)上， 则－[－k－(k＋m)]2＋2(k＋m)＝2k，

整理得(－2k－m)2＝2m， 解得2k＝±2m－m， ∵k，m为整数，

∴当m＝2时，k＝－2或0(0不合题意，舍去)； 当m＝8时，k＝－2或－6；

当m＝18时，k＝－6或－12(－12不合题意，舍去)，

综上所述，可知当k＝±2或k＝±6时，正方形的顶点Bk恰好在其他的“好顶点抛物线上”上．