§4.5 简单的三角恒等变换
最新考纲
1.经历用向量的数量积推导出两角差的
余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
1
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β)) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β)) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β)) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β)) tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))
tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))
2．二倍角公式 sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2
α－sin2
α＝2cos2
α－1＝1－2sin2
α； 2
2tanαtan2α＝. 2
1－tanα概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
π
提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
22．怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx函数的性质？
提示 先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝a＋b·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝
22Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．
3
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( √ )
??2
(2)对任意角α都有1＋sinα＝?sin ＋cos ?.( √ )
22??
(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.( × ) (4)公式tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－
1－tanαtanβααtanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( × ) 题组二 教材改编
π?4?2．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin?α＋?等于( ) 4?5?A．－
227272
B.C．－D. 10101010
答案 C
32
解析 ∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cosα＝－，
5π?32?4?272?∴sin?α＋?＝－×＋?－?×＝－. 4?52?5?210?3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝. 答案
2 2
解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58° ＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°
4
＝sin58°cos77°＋cos58°sin77° ＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝
22
. 4．tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝. 答案
3
解析 ∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°
1－tan10°tan50°，
∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°) ＝3－3tan10°tan50°，
∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3. 题组三 易错自纠
5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________.
答案 12
解析 原式＝sin?30°＋17°?－sin17°cos30°
cos17°
＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°
＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12
. 6．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝________.
答案
2
解析 原式＝cos40°
cos25°1－cos50°
＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°
2
＝2. 2
sin50°7．(2018·烟台模拟)已知θ∈???0，π2???，且sin??π?θ－4??2?＝10，则tan2θ＝.
答案 －24
7
解析 方法一 sin??π?
θ－4??21?＝10，得sinθ－cosθ＝5，① θ∈??0，π?，①平方得2sinθcos24?
2
??
θ＝25
，
5
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