(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习-4.5简单的三角恒等变换(第1课时)教案(含解析)

可求得sinθ＋cosθ＝7

5，

∴sinθ＝43

5，cosθ＝5

，

∴tanθ＝42tan3，tan2θ＝θ24

1－tan2

θ＝－7. 方法二 ∵θ∈??π?0，2???且sin??π?θ－4??2?＝10，

∴cos??π?

θ－?724??＝10，

∴tan???θ－π?1tanθ－144??＝7＝1＋tanθ，∴tanθ＝3. 故tan2θ＝2tanθ1－tan2

θ＝－24

7

. 8．化简：2sin?π－α?＋sin2α＝________.

cos2 α2答案 4sinα 解析

2sin?π－α?＋sin2α cos2 α2

＝2sinα＋2sinαcosα1

2?1＋cosα?＝4sinα?1＋cosα?1＋cosα＝4sinα.

6

第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

题型一 和差公式的直接应用

1．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝1π

3，且2≤α≤π，则sin2α的值为( A．－42

9 B．－22

9 C.229

D.42

9

答案 A

解析 因为sin(π－α)＝sinα＝13，π

2≤α≤π，

所以cosα＝－1－sin2

α＝－223

，

所以sin2α＝2sinαcosα＝2×1?22?42

3×??－3??

＝－9. 2．已知tan???α－π6???＝37，tan??π?6＋β??2

?＝5，则tan(α＋β)的值为( )

A.29

41 B.

129

C.141 D．1

答案 D

解析 ∵tan???α－π6???＝37，tan??π?6＋β???＝2

5，

∴tan(α＋β)＝tan??????α－π6???＋??π?6＋β??????

)

7

π???π?tan?α－?＋tan?＋β?6???6?

＝ π?π???1－tan?α－?·tan?＋β?6???6?32

＋75＝＝1.

321－×75

31?π?3．(2018·青岛调研)已知sinα＝，α∈?，π?，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的52?2?值为( )

221111

A．－B.C.D．－ 111122答案 A

43?π?解析 ∵α∈?，π?，∴cosα＝－，tanα＝－，

54?2?1

又tanβ＝－，

2

tanα－tanβ∴tan(α－β)＝

1＋tanα·tanβ31－＋422

＝＝－.

11?1??3?1＋?－?×?－?

?2??4?

sin110°sin20°

4．计算2的值为． 2

cos155°－sin155°1答案

2解析

sin110°sin20°sin70°sin20°

＝ 22

cos155°－sin155°cos310°

1

sin40°

cos20°sin20°21＝＝＝.

cos50°sin40°2

思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

题型二 和差公式的灵活应用

命题点1 角的变换

8

例1(1)设α，β都是锐角，且cosα＝53

，sin(α＋β)＝，则cosβ＝. 55

答案

25

25

解析 依题意得sinα＝1－cos2

α＝255

， 因为sin(α＋β)＝3

5α，

所以α＋β∈??π?2，π???，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－45325×525

5＋5×5＝25

. (2)设α为锐角，若cos???α＋π6???＝45，则sin??π?2α＋3???的值为( A.12

25 B.2425 C．－2425

D．－1225

答案 B

解析 因为α为锐角，且cos???α＋π6???＝45， 所以sin??α＋π?1－cos26??＝

??π3?

?

α＋6???＝5，

所以sin???2α＋π3???＝sin2???

α＋π6??? ＝2sin???α＋π6???cos??π?α＋6??3424?＝2×5×5＝25，故选B. 命题点2 三角函数式的变换

?1＋sinθ＋cosθ???sin θθ?例2(1)化简：?

2－cos 2??2＋2cosθ (0<θ<π)；

(2)求值：1＋cos20°?12sin20°－sin10°??tan5°－tan5°???

.

解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θπθ2<2，∴cos2

>0，

)

9

∴2＋2cosθ＝4cos

2

θ＝2cosθ22

. 又(1＋sinθ＋cosθ)??sin θθ?2－cos 2??? ＝??2sin θcos θ＋2cos2

θ????sin θ－cos θ?

222??22???

＝2cosθ?

2

θ2

θ?2??sin2－cos2??

＝－2cosθ2

cosθ， －2cos θcos故原式＝2

θ＝－cosθ.

2cos

θ2

(2)原式＝2cos2

10°?2×2sin10°cos10°－sin10°?cos5°?sin5°－sin5°cos5°???

22

＝cos10°cos5°－sin2sin10°－sin10°·5°sin5°cos5° ＝cos10°cos10°2sin10°－sin10°·1

2

sin10°＝cos10°cos10°－2sin20°2sin10°－2cos10°＝2sin10° ＝cos10°－2sin?30°－10°?2sin10° cos10°－2??13?

＝?2cos10°－2sin10°?

?

2sin10° ＝

3sin10°2sin10°＝3

2

.

引申探究

?1＋sinθ－cosθ???sin θ－cos θ??化简：?22?2－2cosθ (0<θ<π)．

解 ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴2－2cosθ＝2sinθ2

，

又1＋sinθ－cosθ＝2sinθθ2

θ2cos2＋2sin2

＝2sinθ??

sin θ＋cos θ??

2?

22?，

10