例1(1)设α，β都是锐角，且cosα＝53
，sin(α＋β)＝，则cosβ＝. 55
答案
25
25
解析 依题意得sinα＝1－cos2
α＝255
， 因为sin(α＋β)＝3
5
所以α＋β∈??π?2，π???，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－45325×525
5＋5×5＝25
. (2)设α为锐角，若cos???α＋π6???＝45，则sin??π?2α＋3???的值为( A.12
25 B.2425 C．－2425
D．－1225
答案 B
解析 因为α为锐角，且cos???α＋π6???＝45， 所以sin??α＋π?1－cos26??＝
??π3?
?
α＋6???＝5，
所以sin???2α＋π3???＝sin2???
α＋π6??? ＝2sin???α＋π6???cos??π?α＋6??3424?＝2×5×5＝25，故选B. 命题点2 三角函数式的变换
?1＋sinθ＋cosθ???sin θθ?例2(1)化简：?
2－cos 2??2＋2cosθ (0<θ<π)；
(2)求值：1＋cos20°?12sin20°－sin10°??tan5°－tan5°???
.
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θπθ2<2，∴cos2
>0，
)
9
∴2＋2cosθ＝4cos
2
θ＝2cosθ22
. 又(1＋sinθ＋cosθ)??sin θθ?2－cos 2??? ＝??2sin θcos θ＋2cos2
θ????sin θ－cos θ?
222??22???
＝2cosθ?
2
θ2
θ?2??sin2－cos2??
＝－2cosθ2
cosθ， －2cos θcos故原式＝2
θ＝－cosθ.
2cos
θ2
(2)原式＝2cos2
10°?2×2sin10°cos10°－sin10°?cos5°?sin5°－sin5°cos5°???
22
＝cos10°cos5°－sin2sin10°－sin10°·5°sin5°cos5° ＝cos10°cos10°2sin10°－sin10°·1
2
sin10°＝cos10°cos10°－2sin20°2sin10°－2cos10°＝2sin10° ＝cos10°－2sin?30°－10°?2sin10° cos10°－2??13?
＝?2cos10°－2sin10°?
?
2sin10° ＝
3sin10°2sin10°＝3
2
.
引申探究
?1＋sinθ－cosθ???sin θ－cos θ??化简：?22?2－2cosθ (0<θ<π)．
解 ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴2－2cosθ＝2sinθ2
，
又1＋sinθ－cosθ＝2sinθθ2
θ2cos2＋2sin2
＝2sinθ??
sin θ＋cos θ??
2?
22?，
10
2sin ?sin ＋cos ??sin －cos ?22??22?2?
∴原式＝ θ2sin
2＝－cosθ.
命题点3 公式的逆用与变形
11
例3(1)已知sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，则sin(α－β)＝.
3259
答案 － 72
11
解析 ∵sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，
321122
∴(sinα＋cosβ)＝，(sinβ－cosα)＝，
94122
即sinα＋2sinαcosβ＋cosβ＝，①
9122
sinβ－2sinβcosα＋cosα＝.②
4
①＋②得sinα＋2sinαcosβ＋cosβ＋sinβ－2sinβcosα＋cosα＝(sinα＋cosα)＋(cosβ＋sinβ)＋2(sinαcosβ－sinβcosα)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－
2
22
2
2
2
2
2
θ?
θθ??
θθ?β)＝，则sin(α－β)＝－. π
(2)已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为．
3答案
31－ 32
13365972
sin αsin βsin?α－β?π
解析 ∵tan α－tan β＝－＝＝3，且α－β＝，∴cos αcos βcos αcos βcos αcos β3＝3113
，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，∴sinαsinβ＝－，那么cos(α6226
31
－. 32
＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝
α＋βα－β2
－
2
，
β??αα＋βα－βα－β??α＝＋，＝?α＋?－?＋β?等．
2
2
2
?2??2?
11
跟踪训练 (1)计算：
cos10°－3cos?－100°?
1－sin10°＝.(用数字作答)
答案 2
解析
cos10°－3cos?－100°?cos10°＋31－sin10°＝cos80°
1－cos80°
＝cos10°＋3sin10°2sin?10°＋30°?
2·sin40°＝2·sin40°
＝2.
(2)已知α∈???0，π2???，β∈???0，π2???，且cosα＝1117，cos(α＋β)＝－14，则sinβ＝.
答案
3
2
解析 由已知可得sinα＝
4353
7，sin(α＋β)＝14
， ∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝531?11?14×7－??－14?433
?×7＝2
. (3)若3sinx＋cosx＝23，则tan???x＋7π6???＝.
答案 ±2
4
解析 由3sinx＋cosx＝2?π?2
3，得2sin??x＋6??＝3，
即sin??2?x＋π6???＝13，所以cos???x＋π6??2?＝±3，
所以tan??π?
x＋6??2?＝±4， 即tan??7π?x＋6???＝tan??π?
x＋6??2?＝±4. 12
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