高中数学 2.3.1 第2课时 等比数列的性质课后知能检测 新人教B版必修5

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.1 第2课

时 等比数列的性质课后知能检测 新人教B版必修5

一、选择题

1．等比数列中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝( ) A．10 C．50

【解析】 a8·a11＝a9·a10＝a5·a14， ∴a8·a9·a10·a11＝(a5·a14)＝25. 【答案】 B

2．(2013·威海高二检测)公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

2

2

B．25 D．75

【解析】 设这三项为a2，a2＋d，a2＋4d，因为构成等比数列，故(a2＋d)＝a2·(a2＋4d)，即d(d－2a2)＝0，∴d＝2a2，∴a2＋d＝3a2，∴q＝

【答案】 C

3．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：

①{an}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比数列的有( ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

3

a2＋d3a2

＝＝3. a2a2

a3an33n3

【解析】 设数列{an}的首项为a1，公比为q.则3＝()＝q，∴数列{an}是等比数

an－1an－1

列；

panan＝＝q， pan－1an－1

∴数列{pan}也是等比数列；

an·an＋1an＋12

＝＝q，

an－1·anan－1

an＋an＋1an－1q＋anq＝＝q，

an－1＋anan－1＋an∴数列{an·an＋1}也是等比数列；∴数列{an＋an＋1}也是等比数列． 【答案】 D

1

4．等比数列{an}的各项均为正数，且a2a9＝9，数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{bn}前10项和为( )

A．10 C．8

B．12 D．2＋log35

【解析】 b1＋b2＋…＋b10＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a2a9)＝5log39＝10.

【答案】 A

5．(2013·营口高二检测)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2…a30＝2，则a3a6…a30等于( )

A．2 C．20

B．2 D．2

2010

30

5

【解析】 设{an}的首项为a1，公比为q＝2. ∴a1a2…a30＝a1·a1q·a1q·…·a1q＝a1q∴a1q105×29

2

29

3015×29

＝2.

30

＝2.

2

5

29

105×31

10

∴a3a6a9…a30＝a1q·a1q·…·a1q＝a1q【答案】 D 二、填空题

＝a1q105×29

·q＝2.

1020

6．在等比数列{an}中，若an<0且a3a5＋2a4a9＋a7a11＝100，则a4＋a9等于________． 【解析】 ∵a3·a5＝a4，a7a11＝a9，∴a3a5＋2a4a9＋a7a11＝a4＋2a4a9＋a9＝(a4＋a9)＝100，∴a4＋a9＝－10.

【答案】 －10

7．在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________． 【解析】 设a1＝2，a5＝8，∴a3＝a1a5＝4， ∴a2·a3·a4＝a3·a3＝a3＝4＝64. 【答案】 64

18．(2013·沈阳高二检测)已知数列{an}是等比数列，则在下列数列：①{}；②{C－an}，

2

3

3

2

2

2

2

2

anC为常数；③{a2n}；

④{a2n}；⑤{lgan}中，一定成等比数列的个数是________．

1

【解析】 对于①，因为

an＋1

1

＝an11

＝(常数)，所以{}是等比数列． an＋1qanan对于②，当an＝1且C＝1时，{C－an}不是等比数列．

2

a2an＋122n＋12

对于③，2＝()＝q(常数)，∴{an}是等比数列．

anan对于④，

a2

n＋1

a2na2nq22

＝＝q(常数)，∴{a2n}是等比数列． a2n对于⑤，当an<0时，lgan无意义，∴{lgan}不是等比数列． 当an>0时，{lgan}是等差数列． 故一定是等比数列的有3个． 【答案】 3 三、解答题

9．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值． 【解】 ∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64. 又∵a3＋a7＝20，

∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. ①当a3＝4，a7＝16时，

a7482

＝q＝4，此时a11＝a3q＝4×4＝64. a3

②当a3＝16，a7＝4时，

a741128

＝q＝，此时a11＝a3q＝16×()＝1. a344

10．3个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这3个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这3个数．

【解】 由题意，这3个数成等差数列，可设这3个数分别为a－d，a，a＋d.∵a－d＋a＋a＋d＝6.

∴a＝2，即3个数分别为2－d,2,2＋d. ①若2－d为等比中项，则有(2－d)＝2(2＋d)， 解得d＝6或d＝0(舍去)，此时3个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)＝2(2－d)， 解得d＝－6或d＝0(舍去)，此时3个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则有2＝(2＋d)(2－d)， 解得d＝0(舍去)．

综上可知，这3个数是－4,2,8.

11．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.

(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；

2

22

3

(2)若数列{an}唯一，求a的值．

【解】 (1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2

＝3＋q2

.

由b2

2

1，b2，b3成等比数列得(2＋q)＝2(3＋q)， 即q2

－4q＋2＝0，

解得q1＝2＋2，q2＝2－2， 故{an－1

－1

n}的通项公式为an＝(2＋2)

或an＝(2－2)

n.

(2)设{a}的公比为q，则由(2＋aq)2

＝(1＋a)·(3＋aq2

)，得aq2

n－4aq＋3a－1＝0，由a>0得，Δ＝4a2

＋4a>0，故方程aq2

－4aq＋3a－1＝0有两个不同的实根． 由{a唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a＝1

n}3

.

4