教师 学生 陈赣祥 类别 科目 年级 基础 数学 九年级 上课日期 上课时间 提高 总共学时 第几学时 培优 校区主任签字 科组长签字 教务主管签字 函数三种表达形式与a,b,c,?符号 【知识要点】
一.图形a,b,c,?的符号的确定,它们之间的关系: 1. a?0 ? 开口向上 a?0 ? 开口向下 2. ??bb?0 ? 对称轴为y轴 ??0 ? 对称轴在y轴左侧 2a2a
b?0 ? 对称轴在y轴右侧(左同右异) 2a3. c?0 ? 经过原点 c?0 ? 与y轴正半轴相交 3.c?0 ? 与y轴负半轴相交 4. ??0 ? 与x轴只有一个交点(顶点在x轴上) ??0 ? 与x轴有两个交点
??0 ? 与x轴无交点
二.二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a≠0);
已知抛物线上任意三点或三组x,y的对应值时,通常设函数解析式为 一般式y?ax2?bx?c,然后列三元一次方程组求解a,b,c。
(2)顶点式:y?a(x?h)2?k (a,h,k为常数,a≠0)已知抛物线顶点坐标 或对称轴,函数最值等及第三点时,设二次函数y?a(x?h)2?k,求解。
(3)两根式(或截距式):y?a(x?x1)(x?x2)(a, x1,x2为常数,a≠0)其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。 【例题讲解】
例1.1 已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象是 (1)a 0,b 0,c 0(填“?”或“?”) (2)点(ac,bc)在直角坐标系中的第 象限. (3)二次函数,满足b2?4ac 0.
(4)一次函数y?ax?c的图象不经过第 象限. 2. 二次函数y?ax2?bx?c的图象,如图(1)所示,则系数y?ax?b的图象只可能是图( )
1
y x
y O y x
y x y x y x y A O x O B O C O D -1 O 1 2 x
例2.二次函数的图象如下图所示,则在下列不等式中,成立的个数是( ) ①abc<0 ②a+b+c<0 ③a+c>b ④a< A.1 B.2 C.3 D.4
例3.(1)若a?0,b?0,c?0,则抛物线y?ax2?bx?c的大致图象为( ) y y y y
O A c?b 2x O B x
O C x
O D x
(2).二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象,如图,下列结论①c?0②b?0③4a?2b?c?0④
?a?c?2?b2其中正确的有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例4.不论x为何实数,二次函数y?ax?2x?c的值恒为负的条件( ) A.a?0,ac?1 B.a?0,ac?1 C.a?0,ac?1 D.a?0,ac?1
2y O x
x?1 例5 .如图,抛物线y?mx2?8mx?12n与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),在第二象限内抛物线上的一点C,使△OCA∽△OBC,且AC:BC?3:1,若直线AC交y轴于P。C恰为AP中点,求抛物线和直线AC的解析式;
课堂强化练习
1如下图所示,抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为x=1, 则下列关系式成立的是 ( )
A.abc>0 B.a+b+c<0 C.a2 3.函数y?ax2?bx?c和y?ax?b在同一从标系中,如图所示,正确的是( ) y y y y x x O A O xO B C 2 x D 4.如果函数y?kx?b的图象在第一、二、三象限内,那么函数y?kx2?bx?1的大致 图象是( ) y 1 0 y x -1 y 1 y x 0 -1 D 2x 0 0 C x A B 5.已知直线y?ax?b(a?0)不经过第一象限,则抛物线y?ax?bx一定经过( ) A.第一、二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 6.已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图1所示,下列结论(1)a?b?c?0,(2) a?b?c?0,(3)abc?0,(4)2a?b?0,其中正确结论的个数( ) 2 A.1 B.2 C.3 D.4 7.二次函数y?ax?bx?c的图象如图2所示,下列结论:(1)c?0,(2)b?0,(3) 4a?2b?c?0,(4)(a?c)?b,其中正确的有( )个。 222 A.1 B.2 C.3 D.4 -1 y y 0 图1 x 0 图2 2x=1 x 8.已知二次函数y?x?(4m?1)x?2m?1的图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),如果x1?2?x2,并且抛物线与y轴的交点在点C(0,? A. 1)的下方,那么m的取值范围( ) 2111?m? B.m? C.m?4 D.全体实数 6642ABC9.已知二次函数y?x?bx?c的图象的顶点为A,与x轴的交点为B、C,若S的关系是( ) 2222则b,c?1, A.b?4c?1?0 B.b?4c?1?0 C.b?4c?4?0 D.b?4c?4?0 10.已知a-b+c=0 9a+3b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点可能在( ) (A)第一或第二象限 (B)第三或第四象限(C)第一或第四象限(D)第二或第三象限 11.如图所示,?ABC为直角三角形,?C?90?,BC?3,AC?4,D为AC上任意一点,E在BC上,G、F在AB上,四边形DEFG为矩形,设CD?x,四边形DEFG的面积为y,则y与x的函数关系式为 . 3 C D A G E F B 12.若关于x的函数y??a2?3a?2?x2??a?1?x?是 . 1的图象与x轴总有交点,则a的取值范围413.已知抛物线y?x2?3x?10与x轴相交于点A和点B,在x轴下方的抛物线上有一点P,设?ABP的面积为S,则S的最大值为 . 14.已知抛物线y?x2?2x?m?1. (1)若抛物线与x轴只有一个交点,求m值; (2)若抛物线与直线y?x?2m只有一个交点,求m值. 15.如图所示,抛物线y?ax2?bx?c的图象经过点A(-1,0),且经过直线y?x?3与两个坐标轴的两个交点B、C. (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标. (3)若点M在第四象限的抛物线上,且OM?BC,垂足为D,求点M的坐标. A O D C B M y x 4
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