第七章 微分方程 非线性方程
1.可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy?f(x)dx 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。
将上式两端积分，得?g(y)dy??f(x)dx，即可求出该方程的通解（隐式通解）。
2. 齐次微分方程
如果微分方程
dyy?f(x,y)中的函数f(x,y)可写成的函数，即dxx?y?f(x,y)????，则称这方程为齐次方程。
?x?在齐次方程
ydudy?y? ???? 中，引进新的未知函数 u?，则y??u?xxdxdx?x?du???u?。齐次方程（课后及课件） dx就可化为可分离变量的方程 u?x复习题参考课后习题及课件
dyy例 求微分方程?ex?通解。
dxxydydu?u?x解:令?u，则，原方程化为 dxdxx u?xdududx?eu?u，?u???C1 dxxey ?e?u?lnx?C1?lnCx e?yx??lnCx 。 （注：?e?yx?0,?0?Cx?1）
线性方程
3．一阶线性微分方程
方程 dy?P(x)y?Q(x)叫做一阶线性微分方程，通解为：
dx?P(x)dx??P(x)dxdx?C? 其中积分号中不含常数C，当Q(x)?0时，方程称y?e?Q(x)e??????P(x)dx为一阶线性齐次的，通解为：y?Ce?。
例 求微分方程?x?siny?dy?tanydx?0的通解。
解:此题把x看作未知函数，y看作自变量，再按照一阶线性非齐次方程求解。 此题微分方程为
dx??coty?x?cosy，P?y??coty，Q?y??cosy dy?cotydy??cotydydy?C??1?1sin2y?C? x?e?cosye??????siny??2?
说明
注意一阶微分方程求解中的dx,dy可同等看待，即对同一一阶微分方程，可以把x看作自变量，也可以把看作因变量，求解方法一样。
复习题参考课后习题及课件
4．伯努利（Bernoulli）方程
方程
dy?P(x)y?Q(x)yn (n?0,1) 叫做伯努利（Bernoulli）方程。 dxdzdy?(1?n)y?n通过上述代换便得一阶线dxdx引入新的未知函数z?y1?n，那么性非齐次方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)，求出这方程的通解后，以y1?n代dxz便得到伯努利方程的通解。
复习题参考课后习题及课件 练习：求方程y??y?xy5的通解
5.一阶二阶线性方程齐次与非齐次方程解的性质及解的结构及其求解（包括特解与通解） 复习资料 教材及课件
二阶线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式为： y???P(x)y??a(x)y?f(x) 当方程右端f(x)?0时，方程叫做齐次的；当f(x)?0时，方程叫做非齐次的。 1.二阶线性微分方程解的结构
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的两个解，那么
y?C1y1(x)?C2y2(x) 也是该方程的解，其中C1、C2是任意常数。
定理2 如果y1(x)与y2(x)是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的两个线性无关的特解，那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)（C1、C2是任意常数）就是该方程
y???P(x)y??Q(x)y?0的通解。
定理3 设y?(x)是二阶非齐次线性方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x) 的一个特解。Y(x)是对应的齐次方程
那么 y?Y(x)?y?(x)是二阶非齐次线性微分方程y???P(x)y??Q(x)y?0的通解，
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的通解。
??定理4 若y1(x)与y2(x)分别是方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与??y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解，那么c1y1(x)?c2y2(x)就是方程
y???P(x)y??Q(x)y?c1f1(x)?c2f2(x)的特解。 注意两种特殊情况：c1?c2?1
c1??c2?1
2. 二阶常系数齐次线性微分方程的解
y???py??qy?0，其中p、q是常数，则称其为二阶常系数齐次线性微分方
程。
r2?pr?q?0 叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程。特征方程的两个
?p?p2?4q根设为r1、r2，r1,2?
2则微分方程y???py??qy?0的通解情况如下表：
特征方程r2?pr?q?0的根
实根r1?r2
p r1?r2??2微分方程y???py??qy?0的通解
y?C1e1?C2e2 y?(C1?C2x)e1 y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
rxrxrxr1,2???i?
3. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
y???py??qy?f(x)，其中p、q是常数，称其为二阶常系数非齐次线性微分
方程。
若微分方程右端函数f(x)?e?xPm(x)，其中Pm(x)是x的一个m次多项式，
?为常数, 则该微分方程具有特解：
y??xkQm(x)e?x，
其中Qm(x)是与Pm(x)同次（m次）的多项式，而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2。
例1 设线性无关的函数y1，y2，y3都是y???a1(x)y??a2(x)y?f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该方程的通解是 。 答： c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
例2 写出微分方程y???4y??4y?6x2?8e2x的待定特解的形式
*解：设y???4y??4y?6x2的特解为y1 *设y???4y??4y?8e2x的特解为y2 **则所求特解为y*?y1 ?y2?r2?4r?4?0，特征根r1,2?2
**?y1?Ax2?Bx?C，y2?Dx2e2x（重根） **?Ax2?Bx?C?Dx2e2x. y*?y1?y2练习 求微分方程y???4y??4y?6e2x的通解
例 3 若f(x)满足f(x)?cos2x??f(t)sintdt，则可微函数f(x)=
0解：等式求导，得f?(x)??2sin2x?f(x)sinx，是一元线性非齐次微分方程
xf?(x)?sinxf(x)??2sin2x，f(x)?e?sinxdx??2sin2xe??sinxdxdx?C? ?????即 f(x)?Ce?cosx?4cosx?4，又因为f(0)?1，所以C?e 所以f(x)?4(cosx?1)?e1?cosx
例4．求满足方程y(x)??y(t)dt?ex的y(x)。
0x解：y?(x)?(?y(t)dt?ex)??y(t)?ex，得到y?(x)?y(x)?ex，代入一阶线性非齐
0x次方程通解公式y?e?又y(0)?1，c?1 因此y?(x?1)ex
dx??eex?xdx?C，y?(x?c)ex
?例5． 能够通过方程的解求方程
设y???p(x)y??f(x)有一特解为1 ，对应的齐次方程有一特解为x2，x试求：（１）p(x),f(x)的表达式；（２）此方程的通解.
解：（１） 由题设可得：
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