第19练 函数的极值与最值
[基础保分练]
1.设a∈R,若函数y=e+ax,x∈R有大于零的极值点,则实数a的取值范围是( ) 11
A.a<-1B.a>-1C.a>-D.a<-
ee
2.已知函数f(x)=x-px-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( )
4444
A.-,0B.0,-C.,0D.0,
27272727
3.(2019·河北武邑中学调研)已知函数f(x)=(2x-x)e,则( ) A.f(2)是f(x)的极大值也是最大值 B.f(2)是f(x)的极大值但不是最大值 C.f(-2)是f(x)的极小值也是最小值 D.f(x)没有最大值也没有最小值 4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=275A.2B.3C.D. 22
5.已知函数f(x)=x+mx+nx(m,n∈R),f(x)在x=1处取得极大值,则实数m的取值范围为( )
A.m≠-3B.m>-3C.m<-3D.m≤-3
12
6.(2018·邢台期末)若函数f(x)=x+(a-1)x-alnx存在唯一的极值,且此极值不小于
21,则a的取值范围为( )
3
2
2
3
2
xxn-1
+k,则f(x)=x-kx-2x+1的极大值为( )
32
?3?A.?,2? ?2??3?C.?0,? ?2?
?3?B.?,+∞? ?2?
?3?D.(-1,0)∪?,+∞?
?2?
x+1
7.(2018·泉州质检)已知直线y=a分别与函数y=e和y=x-1交于A,B两点,则A,
B之间的最短距离是( )
A.
3-ln25-ln23+ln25+ln2
B.C.D. 2222
131212
8.记函数f(x)=x-x+在(0,+∞)上的值域为M,g(x)=(x+1)+a在(-∞,+∞)
322上的值域为N,若N?M,则实数a的取值范围是( ) 1111
A.a≥B.a≤C.a≥D.a≤
2233
1
9.函数f(x)=x+3ax+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是________. 10.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x+ax-3,对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围为________.
[能力提升练]
32
1.(2019·安徽省定远重点中学月考)设函数f(x)=lnx+ax-x,若x=1是函数f(x)的极
2大值点,则函数f(x)的极小值为( ) A.ln2-2B.ln2-1C.ln3-2D.ln3-1
2.已知函数f(x)=(x+x)·(x+ax+b),若对?x∈R,均有f(x)=f(2-x),则f(x)的最小值为( )
935
A.-B.-C.-2D.0
416
3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数
2
2
2
32
f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
x2?12?4.已知对任意x∈?,e?不等式e>x恒成立(其中e=2.71828…是自然对数的底数),则实
a?e?
数a的取值范围是( )
?e?A.?0,?
?2?
C.(-∞,-2e)
2
B.(0,e) 4??D.?-∞,2? e??
5.已知函数f(x)=(1+2x)(x+ax+b)(a,b∈R)的图象关于点(1,0)对称,则f(x)在[-1,1]上的值域为________. 6.已知函数f(x)=e+alnx, ①当a=1时,f(x)有最大值;
②对于任意的a>0,函数f(x)是(0,+∞)上的增函数; ③对于任意的a<0,函数f(x)一定存在最小值; ④对于任意的a>0,都有f(x)>0.
其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
x 2
答案精析
基础保分练
1.A 2.C 3.A 4.D
5.C [f′(x)=3x+2mx+n(x∈R), 由f′(1)=0得3+2m+n=0, Δ=4m-12n>0,∴(m+3)>0, 得到m≠-3,①
∵f′(x)=3x+2mx-(2m+3) =(x-1)(3x+2m+3), ∴令f′(x)=0,
2
2
2
2
?2m?得x=1或x=-?1+?,
3???2m?由-?1+?>1,解得m<-3,②
3??
由①②得m<-3,故选C.]
?1?6.B [函数f(x)的定义域为(0,+∞),对函数求导得f′(x)=x-1+a?1-?=
?
x?
x+axx-
,因为函数存在唯一的极值,所以导函数在(0,+∞)上存在唯一的零点,
故x=1是唯一的极值点, 1
此时-a≤0且f(1)=-+a≥1,
23
解得a≥.故选B.]
27.D [由y=e
x+1
得x=lny-1(y>0),
2
由y=x-1得x=y+1,
122
所以设h(y)=|AB|=y+1-(lny-1)=y-lny+2,h′(y)=2y-=
2?y-
??
y2??2???y+?2??2?
,y当0 222?? 时,h′(y)<0,当y>时,h′(y)>0,即函数h(y)在区间?0,?上单调递减,222?? 25+ln2?2??2??2?2 ,故选D.] ,+∞?上单调递增,所以h(y)min=h??=??-ln+2= 22?2??2??2? 2 8.C [由题意可得f′(x)=x-x=x(x-1), 则当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 3 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 1111 函数的最小值为f(1)=-+=, 3223 ???1 据此可知M=?x?x≥3??? ?? ?, ?? 由二次函数的性质可知函数g(x)的最小值为g(-1)=a,则N={x|x≥a}, 1 结合N?M可知实数a的取值范围是a≥.] 39.(-∞,-1)∪(2,+∞) 10.(-∞,4] 解析 因为2f(x)≥g(x),代入解析式可得 2xlnx≥-x+ax-3, 3 分离参数a可得a≤2lnx+x+, 2 x3 令h(x)=2lnx+x+(x>0), x则h′(x)= x+ x2 x- , 令h′(x)=0解得x1=-3,x2=1, 所以当0 所以h(x)在(0,1)上单调递减;当x>1时,h′(x)>0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以h(x)在x=1处取得极小值,也是最小值. 所以h(x)≥h(1)=4. 因为对一切x∈(0,+∞), 2f(x)≥g(x)恒成立, 所以a≤h(x)min=4, 所以a的取值范围为(-∞,4]. 能力提升练 32 1.A [∵f(x)=lnx+ax-x(x>0), 213 ∴f′(x)=+2ax-, x2∵x=1是函数的极大值点, 31 ∴f′(1)=1+2a-=2a-=0, 221 解得a=, 4 4
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