第19练 函数的极值与最值
[基础保分练]
1．设a∈R，若函数y＝e＋ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是( ) 11
A．a<－1B．a>－1C．a>－D．a<－
ee
2．已知函数f(x)＝x－px－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
4444
A．－，0B．0，－C.，0D．0，
27272727
3．(2019·河北武邑中学调研)已知函数f(x)＝(2x－x)e，则( ) A．f(2)是f(x)的极大值也是最大值 B．f(2)是f(x)的极大值但不是最大值 C．f(－2)是f(x)的极小值也是最小值 D．f(x)没有最大值也没有最小值 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝275A．2B．3C.D. 22
5．已知函数f(x)＝x＋mx＋nx(m，n∈R)，f(x)在x＝1处取得极大值，则实数m的取值范围为( )
A．m≠－3B．m>－3C．m<－3D．m≤－3
12
6．(2018·邢台期末)若函数f(x)＝x＋(a－1)x－alnx存在唯一的极值，且此极值不小于
21，则a的取值范围为( )
3
2
2
3
2
xxn－1
＋k，则f(x)＝x－kx－2x＋1的极大值为( )
32
?3?A.?，2? ?2??3?C.?0，? ?2?
?3?B.?，＋∞? ?2?
?3?D．(－1,0)∪?，＋∞?
?2?
x＋1
7．(2018·泉州质检)已知直线y＝a分别与函数y＝e和y＝x－1交于A，B两点，则A，
B之间的最短距离是( )
A.
3－ln25－ln23＋ln25＋ln2
B.C.D. 2222
131212
8．记函数f(x)＝x－x＋在(0，＋∞)上的值域为M，g(x)＝(x＋1)＋a在(－∞，＋∞)
322上的值域为N，若N?M，则实数a的取值范围是( ) 1111
A．a≥B．a≤C．a≥D．a≤
2233
1
9．函数f(x)＝x＋3ax＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________． 10．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x＋ax－3，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围为________．
[能力提升练]
32
1．(2019·安徽省定远重点中学月考)设函数f(x)＝lnx＋ax－x，若x＝1是函数f(x)的极
2大值点，则函数f(x)的极小值为( ) A．ln2－2B．ln2－1C．ln3－2D．ln3－1
2．已知函数f(x)＝(x＋x)·(x＋ax＋b)，若对?x∈R，均有f(x)＝f(2－x)，则f(x)的最小值为( )
935
A．－B．－C．－2D．0
416
3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数
2
2
2
32
f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
x2?12?4．已知对任意x∈?，e?不等式e>x恒成立(其中e＝2.71828…是自然对数的底数)，则实
a?e?
数a的取值范围是( )
?e?A.?0，?
?2?
C．(－∞，－2e)
2
B．(0，e) 4??D.?－∞，2? e??
5．已知函数f(x)＝(1＋2x)(x＋ax＋b)(a，b∈R)的图象关于点(1,0)对称，则f(x)在[－1,1]上的值域为________． 6．已知函数f(x)＝e＋alnx， ①当a＝1时，f(x)有最大值；
②对于任意的a>0，函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数； ③对于任意的a<0，函数f(x)一定存在最小值； ④对于任意的a>0，都有f(x)>0.
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
x 2
答案精析
基础保分练
1．A 2.C 3.A 4.D
5．C [f′(x)＝3x＋2mx＋n(x∈R)， 由f′(1)＝0得3＋2m＋n＝0， Δ＝4m－12n>0，∴(m＋3)>0， 得到m≠－3，①
∵f′(x)＝3x＋2mx－(2m＋3) ＝(x－1)(3x＋2m＋3)， ∴令f′(x)＝0，
2
2
2
2
?2m?得x＝1或x＝－?1＋?，
3???2m?由－?1＋?>1，解得m<－3，②
3??
由①②得m<－3，故选C.]
?1?6．B [函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，对函数求导得f′(x)＝x－1＋a?1－?＝
?
x?
x＋axx－
，因为函数存在唯一的极值，所以导函数在(0，＋∞)上存在唯一的零点，
故x＝1是唯一的极值点， 1
此时－a≤0且f(1)＝－＋a≥1，
23
解得a≥.故选B.]
27．D [由y＝e
x＋1
得x＝lny－1(y>0)，
2
由y＝x－1得x＝y＋1，
122
所以设h(y)＝|AB|＝y＋1－(lny－1)＝y－lny＋2，h′(y)＝2y－＝
2?y－
??
y2??2???y＋?2??2?
，y当0 222?? 时，h′(y)<0，当y>时，h′(y)>0，即函数h(y)在区间?0，?上单调递减，222?? 25＋ln2?2??2??2?2 ，故选D.] ，＋∞?上单调递增，所以h(y)min＝h??＝??－ln＋2＝ 22?2??2??2? 2 8．C [由题意可得f′(x)＝x－x＝x(x－1)， 则当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 3 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 1111 函数的最小值为f(1)＝－＋＝， 3223 ???1 据此可知M＝?x?x≥3??? ?? ?， ?? 由二次函数的性质可知函数g(x)的最小值为g(－1)＝a，则N＝{x|x≥a}， 1 结合N?M可知实数a的取值范围是a≥.] 39．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 10．(－∞，4] 解析 因为2f(x)≥g(x)，代入解析式可得 2xlnx≥－x＋ax－3， 3 分离参数a可得a≤2lnx＋x＋， 2 x3 令h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)， x则h′(x)＝ x＋ x2 x－ ， 令h′(x)＝0解得x1＝－3，x2＝1， 所以当0 所以h(x)在(0,1)上单调递减；当x>1时，h′(x)>0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值． 所以h(x)≥h(1)＝4. 因为对一切x∈(0，＋∞)， 2f(x)≥g(x)恒成立， 所以a≤h(x)min＝4， 所以a的取值范围为(－∞，4]． 能力提升练 32 1．A [∵f(x)＝lnx＋ax－x(x>0)， 213 ∴f′(x)＝＋2ax－， x2∵x＝1是函数的极大值点， 31 ∴f′(1)＝1＋2a－＝2a－＝0， 221 解得a＝， 4 4
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