全国硕士研究生入学统一考试数学（三） ?1??2??3??4??，2?1?3?2??3?2?4??，则Ax??的通解为（ ）
模拟试卷
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分．）
1（1）已知当x?0时，(1?32x2)3?1与cosx?1是 （ ）
（A）等价无穷小 （B）低阶无穷小 （C）高价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
（2）设f(x)满足f??(x)?(1?cosx)f?(x)?xf(x)?sinx，且f(0)?2，f?(0)?0则（ ）
（A）x?0是函数f(x)的极小值点 （B）x?0是函数f(x)的极大值点 （C）存在??0，使得曲线y?f(x)在点(0,?)内是凹的 （D）存在??0，使得曲线y?f(x)在点(0,?)内是凸的
（3）设有两个数列?an?,?bn?,若limn??an?0,则正确的是 （ ）
?（A）当
?bn收敛时,
n?1????anbn收敛. （B）当
anbn发散.
n?1?bn发散时,
n?1?n?1??22??（C）当
?b2n收敛时,
nn收敛. （D）当
n发散时,
b2nn发散.
n?1?abn?1?bn?1?an?1（4）设z?f(x2?y2,exy)，其中f(u,v)具有连续二阶偏导数，则y?z?x?x?z?y? （ ） （A）?x2?y2?exyfxyv? (B) 4xyfu??2xyefv?
(C) ?x2?y2?exyfxyu? (D) 2xyefv?
（5）设四阶方阵A???1,?2,?3,?4?,其中?1,?2线性无关，若?1?2?2??3??，
??1??1??2??0???1??2?A） k2???k1??3??1?2??3?（1???2???k3?? （B）k1???1??1??1???2???k2??0?????1??
?0????1????2?????1????1????2????1??1??2???0??1??1??1?k2??1??3?1??2??1??1?（C）1????k2????? （D）??1??1??1?k1???2??k2???k3?????
?0????1?????0??2??1??2?????1????1????2????1??
（6） 设A为4阶实对称矩阵,且A2?A?O,若A的秩为3,则A相似于 ( )
??1??1?(A) ?1?????. (B) ?1?. ?1???1??0????0????1???(C) ??1??1?????1??. (D) ??1??? ?0???1??0??(7)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则
P?X?Y??( )
（8）设X(?)的简单随机样本，X和S21,X2,L,Xn为来自指数总体E分别是样本均值
和样本方差．若E(kX2?S2)?1?2，则k? （ ）
（A）1 (B) 2 (C)
nn?1 (D) 2nn?1 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）
（9）设f(x)?limx2n?1?ax?bn??x2n?1为连续函数，求a?___，b? 。
（10）曲线y?xey?1在x?0处的法线方程为 （11）曲线x?y2?1，直线y?2及y轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转
体体积为____
（12）积分
?1x312?3?x?y0dx?0eydy??1dx?0edy?
（13）若3维列向量?,?满足?T??2，?T为a的转置，则行列式2??T?E? （14）设二维随机变量(X,Y)服从N(?,?;?2,?2;0)，则E(XY2)? 三、解答题（15～23小题，共94分）
2x2（15）（本题满分10分）求lim(1?x)?e(1?ln(1?x))x?0x.
（16）（本题满分10分）设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的连续函数，求z?z(x,y)的极值点和极值.。
（17）（本题满分10分）
函数f?x?在[0,??)上可导，f?0??1，且满足
f??x??f?x??1xx?1?0f?t?dt?0.(1) 求导数f??x?.
(2) 证明：当x?0时，不等式：ex?f?x??1成立.
（18）（本题满分
10
分）设某企业生产一种产品，其成本
C(Q)?23Q3?16Q2?100Q?1000，平均收益R(Q)?a?12bQ,(a?0,0?b?24)，当边
际收益MR?44，需求价格弹性E41q?19时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及
常数a,b的值．
（19）（本题满分10分）
?求级数?n(n?1)xn?的和函数S(x)，进而求n?1?n(n?1)的和。 n?12n
（20）（本题满分11分）
（21）（本题满分11分）已知二次型
???设线性方程组Ⅰ?2x1?x2?x3?bⅡ?与??10x1?5x2?4x3?0?ax1?2x2?x3?1有公共解，试确??6x1?3x2?2x3??2b22f(x1,x2,x3)?(1?a)x12?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2 的秩为2。
（1）求a的值
（2）求正交变换x?Qy，把f(x1,x2,x3)化成标准型 （3）求方程f(x1,x2,x3)?0的解
定a，b满足的关系，并求出所有的公共解．
（22）（本题满分11分）设随机变量X,Y具有相同的概率分布，X的分布律为
（23）（本题满分11分） 设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x?y?0,x?y?2与y?0围成的三角形区域，求 （1）求X的概率密度fX(x) （2）求条件概率密度fXY(xy)
121P{X?0}?,P{X?1}?，且?XY?，记Z?X?Y
332（1）求(X,Y)的概率分布 （2）求Z的概率分布
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