2016线性代数试卷A答案与评分标准

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2015-2016 学年第2学期

线性代数试题答案与评分标准

一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. D 2. C 3． C 4． B 5. A

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

16. ? 27. 0 8. ?125 9. ?2 110. t?

5三、计算题 11. (满分8分)

?2??246?????T(1) A?BC??1??123???123?

?3??369?????(2) --------------4分

A2?(BTC)(BTC)?BT(CBT)C?13A?246????13?123??369???

--------------8分

第 1 页共 6 页

12.（满分7分）

2000D?2020000200002?(?1)1?50200002000021000--------------3分

200?2?24?(?1)1?4020

002--------------5分

?32?8?24

--------------7分

13. (满分8分)

?1??A|I???2?2??1?r3?2r2?????0?0??1?2?2r3?rr????01?2r3?0?2100??122100??r2?2r1???2 010 ?????0?3?6 -210 r3?2r1???0?6?3-201??21001????22100?1?122100??9r3???3?6 -210 ?????012 2/3-1/30 1???r23?0012/9-2/91/9?092-21????205/94/9-2/9??1001/92/92/9??r1?2r2??10 2/91/9-2/9 ??????010 2/91/9-2/9 ??0012/9-2/91/9?012/9-2/91/9?????122?1???1可见 A??21?2?

9???2?21?--------------4分

211A?22121?2?0?3?6??27r3?2r1r2?2r1122

2?20?6?3?1AA??A?A?AI??A???A， A第 2 页共 6 页

?122?所以?A*??1??1?27?21?2?. ???2?21??

四、解答题 14.(满分10分)

?2?1?112???A??1,?2,?3,??11?214?4,?5????4?62?24?? ?36?979????10?104???01?103???0001?3?? ?00000??

可见?1,?2,?4是一个极大无关组。

?3???1??2,?5?4?1?3?2?3?4

15. (满分10分)

A???11?1?1?1??22?3?4?1?????r2?2r1?1101r?r2???1??1?r2?0012

第 1 页共 6 页

--------------8分

--------------6分

--------------8分

--------------10分?2??1??， --------------3分

?x1?x2?x4?2x5?0得原方程组的同解方程组?，

x?2x?x?045?3?x1??x2?x4?2x5?x?x22?即?， ?x3??2x4?x5?x?x4?4??x5?x5--------------6分

?x1???1???1??2?????????x102???????0?写成向量方程的形式为?x3??x2?0??x4??2??x5?1?，

????????x01?4??????0??0??0??1??x????????5?得到原方程组的一个基础解系：

??1???1??2???????10?????0??1??0?,?2???2?,?3??1?.

??????01?????0??0??0??1???????--------------9分

通解为：

x?k1?1?k2?2?k2?3 k1,k2,k3为任意实数

--------------10分

16.(满分8分)

AB 可得存在可逆阵P P?1AP?B

--------------1分

?1 P(A?I)P?B?I

-------------2分

第 2 页共 6 页

从而

R(A?I)?R(B?I)

-------------3分

??101???B?I??000?

?10?1???-------------5分

R(B?I)?1

-------------7分

所以

R(A?I)?1

-------------8分

17.（满分8分）

?200??? A??03a?

?0a3???--------------1分

A的特征值为1,2,5 --------------2分

200 A?1?2?5 即 A?03a?2(9?a2)?10

0a3 ∴a?2

--------------4分

解方程组(I?A)x?0, 得基础解系?1=(0,?1,1) 单位化 e1=(0,?

第 1 页共 6 页

T11T,) -------------5分 22

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