数学试卷
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)参加调查的学生共有 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 度；
(2)将条形图补充完整；
(3)若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 人． 【答案】解：(1)300，36。
(2)喜欢足球的有300－120－60－30＝90人，所以据此将条形图补充完整（如右图）。
(3)在参加调查的学生中，喜欢篮球的有120人，占 120?300＝40%，所以该校2000名学生中，估计喜欢“篮球”的学生共有2000×40%=800（人）。
【考点】扇形统计图，条形统计图，频率，频数。
【分析】(1)从图中知，喜欢乒乓球的有60人，占20%，所以参加调查的学生共有60?20%＝300（人）
喜欢其他球类的有30人，占30?300＝10%，所以表示“其他球类”的扇形的圆心角为3600×10%=360。
(2)由(1)参加调查学生的总数减去另外各项就可得喜欢足球的人数，将条形图补充完整。
(3)先求出在参加调查的学生中，喜欢篮球的人，占参加调查的学生的百分比就能估计出全校喜欢“篮球”的学生人数。
22．(8分)如图，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O B 于点C，OC平分∠AOB．求∠B的度数． O 【答案】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB， C ∵AM切⊙O于点A，即OA⊥AM，又BD⊥AM，
A D M
∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB
又∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠OCB＝∠COB＝600。 【考点】圆的切线，角平分线，直线平行，三角形的内角和。
【分析】要求∠B，由于OC＝OB，根据等边对等角可知∠OCB＝∠B。由于OA，BD都垂直于同一条直线AM，从而OA∥BD，根据两直线平行内错角相等，有∠AOC＝∠OCB。而 OC平分∠AOB，通过等量代换可得∠B＝∠OCB＝∠COB，因此由三角形的内角和1800可得∠B＝＝600。
23．(8分)在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛．相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？ 【答案】解：设父亲每分钟跳x个，儿子每分钟跳x＋20个。
180210 依题意有。解之，得x＝120。 ?xx?20 经检验，x＝120是方程的根。
当x＝120时，x＋20＝140。
答：父亲每分钟跳120个，儿子每分钟跳140个。 【考点】列方程解应用题，分式方程。
【分析】列方程解应用题的关键是找出等量关系：相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个。即父亲跳180个的时间＝儿子跳210个的时间，而时间＝运动量?运动速度。 24．(8分)比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：
它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．
数学试卷
它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形． 请你再写出它们的两个相同点和不同点： 相同点：
① ； ② ．
正五边形 正六边形
不同点：
① ； ② ． 【答案】解：相同点：①正五边形的和正六边形都是轴对称图形。 ②正五边形的和正六边形内角都相等。
不同点：①正五边形的对角线都相等；正六边形对角线不全等。 ②正五边形的对角线不交于同一点；正六边形对角线过中心的三条交于同一点。
【考点】正五边形的和正六边形。
【分析】相同点：①正五边形有五条对称轴，分别是顶点和其对边中点连线所在直线；正六边形六条对称轴，分别是对角顶点连线所在直线和对边中点连线所在直线。 ②正五边形每个内角都是1080；正六边形每个内角都是1200。 不同点：①正五边形的对角线与两条邻边构成的三角形 都是是全等的；正六边形对角线中过中心的三条一样长（图中红 线），不过中心的六条一样长（图中蓝线）。 ②图中可见。
正五边形 正六边形
25．(9分)光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视
力检测．某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．
(1)求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；
(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．
【答案】解：(1)列出甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力的所有情况： 三人都不选A处，则三人都选B处，计1种情况。
三人中一人选A处，另二人选B处，计3种情况；甲选A处，乙、丙选B处；乙选A处，甲、丙选B处；丙选A处，甲、乙选B处。
三人中二人选A处，另一人选B处，计3种情况；甲、乙选A处，丙选B处；甲、丙选A处，乙选B处；乙、丙选A处，甲选B处。
三人都选A处，则三人都不选B处，计1种情况。
所有可能情况计8种情况，甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的情况计2种情况：都选A处或都选B处。因此甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率为 21?。 84
(2)甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的情况计4种情况：三人中有二人选B处和三人都选B处。因此甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力
41
的概率为?。
82【考点】概率。
【分析】列举出所有情况，分析出符合条件的情况，求出概率。 26．(10分)如图1，O为正方形ABCD的中心，
数学试卷
分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA， OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针 旋转?角得到△E1OF1(如图2)．
(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； (2)当?＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形． 【答案】解：(1)AE1＝BF1，证明如下：
∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD，∴OE＝OF ∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转?角得到，∴OE1＝OF1。 ∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB OE1＝OF1 在△E1OA和△F1OB中， ∠E1OA＝∠F1OB，∴△E1OA≌△F1OB （SAS） OA＝OB ∴ AE1＝BF1。
(2)取OE1中点G，连接AG。 ∵∠AOD＝900，?＝30° ， ∴ ∠E1OA＝900－?＝60°。
∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°。 ∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°。∴ ∠E1AO＝90°。
∴△AOE1为直角三角形。
【考点】正方形的性质和判定，旋转，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定。 【分析】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边。考察△E1OA和△F1OB，由正方形对角线互相平分的性质有OA＝OB；再看OE1和OF1，它们是OE和OF经过旋转得到，由已知易得相等；最后看夹角∠E1OA和∠GE1A，由于它们都与∠F1OA互余。从而得证。
(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°。考虑到OE1＝2OA，作辅助线AG，得∠AGO＝∠OAG，由于∠E1OA与?互余，得到∠E1OA＝60°，从而得到△AOG的三个角都相等，都等于600。又由AG＝GE1得到∠GAE1＝∠GE1A＝30°。因此 ∠E1AO＝90°，从而得证。
27．(12分)已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过其中的三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上； (2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？ (3)求a和k的值．
【答案】解：(1)证明：用反证法。假设C(－1，2)和E(4，2)都在抛物线y＝a(x－1)2＋k
a(－1－1)2＋k＝2 (a＞0)上，联立方程 2 ，
a(4－1)＋k＝2 解之得a＝0，k＝2。这与要求的a＞0不符。
∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。
(2)点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则k＝0。B(0，－1)在抛物线上，得到a＝－1，D(2，－1)在抛物线上，得到a＝－1，这与已知a＞0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。 因此点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。 (3)综合(1)(2)，分两种情况讨论：
①抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三个点，
数学试卷
a(0－1)2＋k＝－1 联立方程 a(－1－1)2＋k＝2， a(2－1)2＋k＝－1 解之得a＝1，k＝－2。
②抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三个点， a(0－1)2＋k＝－1 联立方程 a(2－1)2＋k＝－1， a(4－1)2＋k＝2
311 解之得a＝，k＝?。
88因此，抛物线经过B、C、D三个点时，a＝1，k＝－2。抛物线经过B、D、E三个点时，
311a＝，k＝?。
88【考点】二次函数，二元一次方程组。
【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立，得到与已知相矛盾的结论即可。
(2)要证点A不在抛物线上，只要证点A和其他任意两点不在同一抛物线上即可。 (3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况，由(2)去掉点A，还有B、C、D、E四个点，可能情况有 ①B、C、D， ②B、C、E， ③B、D、E和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E和④C、D、E两种C、E两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D 和③B、D、E两种情况，分别联立方程求解即可。
my 28．如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝
x
l (x＞0)交于点B(2，1)．过点P(p，p－1)(p＞1)作x轴的平 mm
行线分别交双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于点M、N．
x x
B O A x (1)求m的值和直线l的解析式；
(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
(3)是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若 不存在，请说明理由．
mm【答案】解：(1)由点B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。
x
1 设直线l的解析式为y?kx?b，由点A(1，0)，点B(2，1)在y?kx?b上，得 k?b?0 ， ，解之，得k?1，b=?1
2k?b?1 ∴所求 直线l的解析式为 y?x?1。
(2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。
∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。
∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝22?22?8?22， BP＝12?12?2
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