微探究 勾股定理再探索

勾股定理再探索

勾股定理是数学中的一颗明珠，它揭示了直角三角形三边之间的关系，体现了数形结合的思想，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用.

从熟悉的勾股数入手，换个角度，我们可探究发现许多结论并提出新问题. 1.（3,4,5）是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题： （1）三边长为连续整数的直角三角形有多少个？

（2）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ （3）三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 2.看下列两组勾股数

（1）a b c （2）a b c 3 4 5 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 40 41 10 24 26 11 60 61 12 35 37 … … … … … … 从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？ 3.名画的启示

波格达洛夫·别林斯基是俄国著名的画家.他的名画《难题》上画的一位老师耐心启发

102?112?122?132?142学生用口算很快求出下式结果：=？

365题中隐藏着五个连续自然数平方的某种关系，即10?11?12?13?14. 4.a2?b2的几何意义是直角边分别为a、b的直角三角形斜边的长.利用这一意义，以形助数，我们可解决一些与二次根式相关的代数问题.

22222视野窗

由勾股数知，对于不定方程x+y=z有无数组正整数解.

对于n＞2的整数，不定方程x+y=z没有正整数解，这就是著名的费马大定理. 从勾股数组到费马大定理，只是换一个角度看问题，却提出了一个影响深远的定理，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才最终证明了费马大定理.

对于勾股数组（a，b，c），我们还可以提出下列问题： （1）勾股数组中偶数的个数可以有几个？ （2）勾股数组中奇数的个数可以有几个？ （3）是否存在一组勾股数，它们都是质数？ 美国物理学家亨利曾说：“伟大发现的种子经常在我们身边漂浮，但只在有心人的心中生根.”

nnn222 弦图

例 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是______. (温州市中考题)

分析与解 解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”，并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边分别为a、b（b＞a）.

解法一 ∵S1 =（a+b），S2 =a+b，S3 =（b—a） ∴（a+b）+ （a+b）+（b—a）=10，得a+b=即S2=

222222222210 310. 311ab，S2—S3 =4×ab， 22解法二：∵S1—S2 =4×

∴S1—S2 = S2—S3，即2S2= S1+ S2=10—S2， ∴S2=

10. 3练一练

1.如图，是用四个全等的直角三角形与两个小正方形镶嵌而成的正方形图案，设x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），

（1）若大正方形面积为49，小正方形面积为4，下列四个说法：①x?y?49；②x—y=2；③2xy+4=49；④x+y=13.其中正确的序号是__________；（广东省中考题）

（2）如图②，若x=6，y=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长1倍，得到“数学风车”，则这个风车的外围周长为_________.（河南省中考题）

22

2.如图，四边形ABCD，∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，BD=2,CD=53，则四边形的面积_________. （呼和浩特市中考题）

ABCD

2223.下表中给出的每行三个数a、b、c（a＜b＜c）满足a?b?c，根据表中已有的数的规律填空：

（1）当a=20时，b=______，c=_______.

（2）用含字母a的代数式分别表示b、c ，b=______，c=_______.（江苏省竞赛题）

2226?8?106，8，10；

222 8，15，17； 8?15?17

22210?24?2610，24，26；

22212?35?3712，35，37；

222 20，b，c； 20?b?c

4.如图，等腰△ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰作第一个等腰Rt△ADE；再以所作的第一个等腰Rt△ADE的斜边上的高AF为腰做第二个等腰Rt△AFG，??以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为_____．（齐齐哈尔市中考题）

GEBFDAC

25.如图，在△ABC中，AB=AC=4，P是BC上异于B、C的一点,则AP+BP·PC的值是

（ ）

A.16 B.20 C.25 D.30

ABPC

6.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀酸经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证．图2由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，L都矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）

A.90 B.100 C.110 D.121 （2012年宁波市中考题）

7.如图，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC= 则∠CPA=（ ）．

A.120° B.135° C.150° D.145°

7，

CPAB

8.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个

（浙江省竞赛题）

9.图①、图②、图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形边长均为1．请在①、②、③中，分别画出符合要求形，所画形各顶点必须与小正方形顶点重合．

具体要求如下：

（1）画一个底边为4，面积为8的等腰三角形； （2）画一个面积为10的等腰直角三角形；

（3）画一个一边长为22，面积为6的等腰三角形．（哈尔滨市中考题）

10.问题背景 在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形面积． 小辉同学解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形边1），再网格画出格点（即三个顶点都小正方形顶点处），如图①所示．这样不需求高，而借用网格就能计算出它面积． （1）请你将面积直接填写横线上 _______； 思维拓展： （2）我们把上述求面积方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为5a，22a，17a（a＞0），请利用图②正方形网格（每个小正方形边a）画出相应的△ABC，并求出它面积； 探索创新： （3）若△ABC三边的长分别为m2?16n2，9m2?4n2，2m2?n2 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形面积．（咸宁市中考题）

11.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上一点，求证：

BD2?CD2?2AD2

AB

12.已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的斜边长.（2012年全国初中数学联赛题）

DC