东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考理科数学含答案

?x?y?z?0,?EF?n?0,??1则?即?1取n1?(3,?1,2)， 1?x?y?z?0,??FC?n1?0,??22设平面PDC法向量为n2?(x,y,z)，PD?(?1,0,1)，PC?(?1,1,1)，

??PD?n2?0,??x?z?0,则?即?取n2?(1,0,1)，

?x?y?z?0,??PC?n2?0,?cos?n1,n2??n1?n23?1?(?1)?0?2?157??，

14|n1|?|n2|14?257． 14所以平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为20.解：（1）∵

c1?，∴a?2c， a2x2y2椭圆的方程为2?2?1，

4c3c将(1,)代入得

3219??1，∴c2?1， 224c12cx2y2??1． ∴椭圆的方程为43?x2y2?1,??（2）设l的方程为x?my?1，联立?4 3?x?my?1,?消去x，得(3m?4)y?6my?9?0， 设点A(x1,y1)，B(x2,y2)， 有y1?y2?22?6m?9，， yy?123m2?43m2?42121?m212(1?m2)?有|AB|?1?m，

3m2?43m2?4点P(?2,0)到直线l的距离为31?m12，

点Q(2,0)到直线l的距离为1?m2，

112(1?m2)4241?m2??从而四边形APBQ的面积S??（或2223m2?43m?41?mS?1|PQ||y1?y2|） 22令t?1?m，t?1， 有S?24t1124，设函数，f(t)?3t?f'(t)?3??0，所以f(t)在[1,??)上?3t2?13t?1tt2t1t单调递增， 有3t??4，故S?24t24??6， 213t?13t?t所以当t?1，即m?0时，四边形APBQ面积的最大值为6． 21.解：（1）∵f(x)的定义域为x?R且单调递增， ∴在x?R上，f'(x)?2x?4?即：a?(4?2x)e，

所以设h(x)?(4?2x)e，x?R， ∴h'(x)?(2?2x)e，

∴当x?(??,1)时，h'(x)?0，∴h(x)在x?(??,1)上为增函数， ∴当x?[1,??)时，h'(x)?0，∴h(x)在x?[1,??)上为减函数，

x∴h(x)max?h(1)?2e，∵a???(4?2x)e??xxxa?0恒成立， exmax，

∴a?2e，即a?[2e,??)．

（2）∵g(x)?ef(x)?(x?4x?5)e?a， ∵g(x1)?g(x2)?2g(m)，m?[1,??)，

222m∴(x1?4x1?5)e1?a?(x2?4x2?5)e2?a?2(m?4m?5)e?2a， 22∴(x1?4x1?5)e1?(x2?4x2?5)exx2xxx2x?2(m2?4m?5)em，

∴设?(x)?(x?4x?5)e，x?R，则?(x1)??(x2)?2?(m)，

2x∴?'(x)?(x?1)e?0，∴?(x)在x?R上递增， ∴设F(x)??(m?x)??(m?x)，x?(0,??)， ∴F'(x)?(m?x?1)e∵x?0，

∴em?x?em?x?0，(m?x?1)?(m?x?1)?(2m?2)2x?0， ∴F'(x)?0，F(x)在x?(0,??)上递增， ∴F(x)?F(0)?2?(m)，

∴?(m?x)??(m?x)?2?(m)，x?(0,??)， 令x?m?x1，

∴?(m?m?x1)??(m?m?x1)?2?(m)，即?(2m?x1)??(x1)?2?(m)， 又∵?(x1)??(x2)?2?(m)，

∴?(2m?x1)?2?(m)??(x2)?2?(m)，即?(2m?x1)??(x2)， ∵?(x)在x?R上递增，

∴2m?x1?x2，即x1?x2?2m得证． 22.解：（1）联立?∵0???222m?x2x?(m?x?1)2em?x，

??cos??3,3cos???，

2???4cos?,?2，???6，??23，

∴所求交点的极坐标(23,?6)．

（2）设P(?,?)，Q(?0,?0)且?0?4cos?0，?0?[0,?2)，

2?2??0??,由已知OQ?QP，得?5

3???0??,∴

2???4cos?，点P的极坐标方程为??10cos?，??[0,)． 52??4x?1,x?0,??323.解：（1）当m??2时，f(x)?|2x|?|2x?3|?2??1,??x?0,

?23??4x?5,x??.??2当??4x?1?3,13解得0?x?；当??x?0，1?3恒成立；

22?x?0,??4x?5?3,3?当?解得， ?2?x??3x??,2??2此不等式的解集为?x|?2?x???1??． 2?23??x??3?m,??x?0,2??x2（2）令g(x)?f(x)?x???

23x??5x??m?3,x??,?x2?32?x?0时，g'(x)??1?2，当?2?x?0时，g'(x)?0，所以g(x)在[?2,0)2x33上单调递增，当??x??2时，g'(x)?0，所以g(x)在[?,?2)上单调递减，

22当?所以g(x)min?g(?2)?22?3?m?0， 所以m??22?3，

323时，g'(x)??5?2?0，所以g(x)在(??,?]上单调递减， 2x2335所以g(x)min?g(?)?m??0，

2635所以m??，

6当x??综上，m??22?3．