初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全（配PDF版）-第10章-四边形的趣味问题 

例3、平面上有三个正△ABD、△ACE、△BCF，两两共有一个顶点。 求证：CD与EF互相平分。（1990年芜湖市竞赛题）

例4、在Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E、，F是BE上一点，且BF＝CE。

求证：FK∥AB。（大连市第八届“育英杯”竞赛题）

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例6、矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝10cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值。（1998年北京市竞赛题）

例7、设P为等腰三角形ABC斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC。

求证：BC⊥BD且BC＝BD。

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【针对训练】

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第三节 梯形的判定和中位线定理

【知识点拨】

1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。

2、等腰梯形的性质与判定

性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等。

判定定理：在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

3、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半。 对于梯形的问题，往往是通过作辅助线，将梯形问题转化成三角形或平行四边形问题来解决。常用的辅助线如下：

【赛题精选】

例1、已知E、F、G分别是AB、BC、CA的中点，AD⊥BC于D。

求证：四边形EFDG是等腰梯形。

【说明】一组对边平行的四边形可能是梯形，还可能是平行四边形！因此，要证明一个四边形是梯形，必须证这个四边形的另一组对边不平行，证明一组对边不平行的方法有：

（1）、证明四边形的一组对边平行且不相等，则这个四边形不是平行四边形，因而另一组对边不平行；

（2）利用经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，而经过这点的其它直线与这条直线不平行进行证明。

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