uuuruuuurbbb22BE?EC1?0?(0,a,)?(a,?a,)?0??a??0?b?2a,
224uuuruuuuruuur所以E(0,a,a),EC?(a,?a,?a),CC1?(0,0,2a),BE?(0,a,a),
ur设m?(x1,y1,z1)是平面BEC的法向量,
uuuvv?m?BE?0,?ay1?az1?0,vv???m?(0,1,?1), 所以?vuuu?m?EC?0.?ax1?ay1?az1?0.r设n?(x2,y2,z2)是平面ECC1的法向量,
vvuuuu?n?CC1?0,?2az2?0,vv???n?(1,1,0), 所以?vuuu?ax2?ay2?az2?0.?n?EC?0.urrm?nrr?二面角B?EC?C1的余弦值的绝对值为um?n13. 所以二面角B?EC?C1的正弦值为1?()2?2211?,
2?22点评:
本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直,考查了利用空间向量求二角角的余弦值,以及同角的三角函数关系,考查了数学运算能力. 21.设数列?an?、?bn?都有无穷项,?an?的前n项和为Sn?比数列,b3?4且b6?32. (1)求?an?和?bn?的通项公式; (2)记cn?13n2?5n?,?bn?是等?2an,求数列?cn?的前n项和为Tn. bnn?1*答案(1)an?3n?1;bn?2,n?N(2)14???3n?7 n?12?S1,n?1(1)由an??可求出an,根据定义求出数列?bn?的公比,从而可求出
S?S,n?2n?1?nbn;
(2)由题意得cn?解:
解:(1)当n?1时,a1=S1=4; 当n?2时,
3n?1,再用错位相减法求和即可. n?12
an?Sn?Sn?1?1112??[3(2n?1)?5]?3n?1, 3n2?5n???3(n?1)?5(n?1)???222且a1?4亦满足此关系,
∴?an?的通项为an?3n?1,n?N3设?bn?的公比为q,则q??*?,
b6?8,则q=2, b3∴bn?b3?qn?3?2n?1?n?N*?;
an3n?1?n?1, bn2(2)由题意,cn?而Tn?47103n?23n?1?????n?2?n?1, 12422710133n?12Tn?8???L?n?2,
1242??111?3n?1?L?n?2??n?1, 242?2两式相减,有Tn?8?3?1?1?3n?13n?7??8?3?2?n?2??n?1?14?n?1.
2?22?点评:
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法,考查错位相减法求和,属于中档题.
x2y2322.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为,直线
ab2y?x被椭圆C截得的线段长为410. 5(1)求椭圆C的方程;
(2)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD?AB,直线BD与x轴y轴分别交于M,N两点.
①设直线BD,AM斜率分别为k1,k2,证明存在常数?使得k1??k2,并求出?的值; ②求?OMN面积的最大值.
x2答案(1)?y2?1.
4
(2) ①证明见解析,???91;②. 2822a?b3试题分析:(1)首先由题意得到,即a2?4b2. ?a2将y?x代入x?4y?a可得x??2225a, 5由2?25a410,可得a?2.b?1得解. ?55(2)(ⅰ)注意从确定k1,k2的表达式入手,探求使k1??k2成立的?. 设A(x1,y1)(x1y1?0),D(x2,y2),则B(?x1,?y1), 得到k1?y1?y2y1???1,
x1?x24k4x1y1(x?x1), 4x1y1. 2x1根据直线BD的方程为y?y1?令y?0,得x?3x1,即M(3x1,0).得到k2??由k1??1k2,作出结论. 2y1(x?x1), 4x1(ⅱ)直线BD的方程y?y1?从确定?OMN的面积表达式S?解.
139?3x1?y1?x1y1入手,应用基本不等式得24822a?b3试题解析:(1)由题意知,可得a2?4b2. ?a2222椭圆C的方程可化简为x?4y?a.
将y?x代入可得x??5a, 5因此2?25a410,可得a?2. ?55因此b?1,
x2所以椭圆C的方程为?y2?1.
4(2)(ⅰ)设A(x1,y1)(x1y1?0),D(x2,y2),则B(?x1,?y1), 因为直线AB的斜率kAB?y1, x1x1, y1又AB?AD,所以直线AD的斜率k??设直线AD的方程为y?kx?m, 由题意知k?0,m?0,
y?kx?m由{x24?y2?1,可得(1?4k)x?8mkx?4m?4?0.
222所以x1?x2??8mk,
1?4k2因此y1?y2?k(x1?x2)?2m?由题意知,x1?x2 所以k1?2m, 21?4ky1?y2y1???1,
x1?x24k4x1y1(x?x1), 4x1所以直线BD的方程为y?y1?令y?0,得x?3x1,即M(3x1,0). 可得k2??所以k1??y1. 2x111k2,即???. 221因此存在常数???使得结论成立.
2(ⅱ)直线BD的方程y?y1?令x?0,得y??y1(x?x1), 4x133y1,即N(0,?y1), 44由(ⅰ)知M(3x1,0),
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