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2019.5
第3讲 圆锥曲线的综合问题
1．(20xx·福建)设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y＝1上的点，则P，Q两点间
10的最大距离是( ) A．52 C．7＋2
B.46＋2 D．62
2
2
x2
2
x2y22
2．(20xx·陕西)如图，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.
ab2
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.
热点一 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
x2y2
例1 (20xx·重庆)如图，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为
abF1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
34
(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．
43
思维升华 解决范围问题的常用方法：
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
1
跟踪演练1 已知椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点P(1，
23)． 2
(1)求椭圆C的标准方程；
→→
(2)线段PQ是椭圆过点F2的弦，且PF2＝λF2Q，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．
热点二 定点、定值问题
1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
x2y21
例2 椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.
ab2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
思维升华 (1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
y2x2
跟踪演练2 已知直线l：y＝x＋6，圆O：x＋y＝5，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率
ab2
2
e＝3
，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等． 3
(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．
热点三 探索性问题
1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则
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