②成对比较矩阵比较的次数要求太 ，因：n个元素比较次数为：Cn2?n(n?1)次， 2!因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素C1, ?, Cn对上层因素O的权重？
对此Saoty提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素C1, ?, Cn对因素（上层因素）O的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。
为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性 四：一致性矩阵
Def：设有正互反成对比较矩阵：
??WW?a111??W?1 a12?11W?1 , ? , a?W1?1n2W?n??aW2W2W2?21? a22??1 , ?A???W? , a2n?1W2Wn? (4) ??? ? ? aWiij? ???Wj?????a?WnWWn1W ann2? ? ann?n ?1 ?1W2Wn??除满足：（i）正互反性：即 而且还满足：（ii）一致性：即
则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵，简称一致阵。 一致性矩阵（一致阵）性质： 性质1：A的秩 Rank(A)=1
A有唯一的非0的最大特征根为n
性质2：A的任一列（行）向量都是对应特征根n的特征向量：
即有(特征向量、特征值)：
?W1??W1?W2A??W?1???Wn?W?1W1W2W2W2?WnW2????W1WnW2Wn?WnWn???W1???????W2??，则向量W???? ?????W??3?????W1W1??W1W2满足：AW?????WnWn??WW2?1???W1??W??nW???1??1?Wn?W???nW????2???2??nW Wn?????????W??nW?Wn???n??n?即： (A?nI)W?0
?W1?????W2?启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即n个元素W1, W2, W3 , …Wn 构成的向量W???
????W??n?是一致矩阵A的特征向量，则对一致矩阵A来说，可以把一致矩阵A的特征向量W求出之后，再把一致矩阵A的特征向量W归一化后得到的向量?，看成是诸元素W1, W2, W3 , …Wn 目标O的权向量。因此，可以用求一致矩阵的特征根和特征向量的办法，求出元素W1, W2, ???W3 , …Wn相对于目标O的权向量。
解释：一致矩阵即：n件物体M1, M2, ?,Mn，它们重量分别为W1, W2 , ?,Wn，将他们
?W1????W2?两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量W???右乘A，则
????W??n??A的特征根为n,??W1??????W?：重量向量 W＝?2?，则归一化后的特征向量?以n为特征根的特征向量为?????W??：? ?n???W???1??W＝?????Wi＝1?，就表示诸因素C1，C2，?，Cn对上层因素O的权重，即为???W????权向量，此种用特征向量求权向量的方法 称特征根法，?分析：
?W1????W?若重量向量W??2?未知时，则可由决策者对物体M1, M2, ?,Mn之间两两相比关系，
????W??n?主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使A矩阵（不一定有一致性）为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵A，并且此A（不一致）在不一致的容许范围内，再依据：A的特征根或和特征向量W连续地依赖于矩阵的元素aij，即当aij离一致性的要求不太远时，A的特征根i和特征值（向量）W与一致矩阵A的特征根?和特征向量W也相差不大的道理：由特征向量W求权向量W的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。 问题：Remark
以上讨论的用求特征根来求权向量W的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质1是说：一致阵的最大特征根为n（即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵A的最大特征根?max?n时，A是否为一致阵？
2． 用主观判断矩阵A的特征根?和特征向量W连续逼近一致阵A的特征根?和特征向量
W时，即： 由lim?k??
k?k得到：limWk?W
k??即： limAk?A
k??是否在理论上有依据。
3．一般情况下，主观判断矩阵A在逼近于一致阵A的过程中，用与A接近的A*来代替A，即有A*?A，这种近似的替代一致性矩阵A的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要重新两两比较构造主观判断矩阵。此问
题即一致性检验问题的内容。
以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材P325，定理1、定理2）。第3个问题：Satty给出一致性指标（Th1,Th2介绍如下：） 附：
Th1：（教材P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵A（A的所有元素为正数） （1）A的最大特征根是正单根?；
（2）?对应正特征向量W（W的所有分量为正数）
?1???kAe?1?（3）limTk?W 其中：e???为半径向量，W是对应?的归一化特征向量
k??eAe????1???证明：（3）可以通过将A化为标准形证明 Th2：n阶正互反阵A的最大特征根??n；
当??n时，A是一致阵
五、一致性检验——一致性指标：
1．一致性检验指标的定义和确定——C?I的定义：
当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵A，一般不可直接保证正互反矩阵A就是一致正互反矩阵A，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必然导致特征值和特征向量之间的误差(???)及?W－W?。此时就导致问题AW＝?maxW与问题AW?nW之间的差别。（上述问题中?max是主观判断矩阵A的特征值，W是带有偏差的相对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。
因此，为了避免误差太大，就要给出衡量主观判断矩阵A的一致性的判别准则。 因为：
①当主观判断矩阵A为一致阵A时就有：
????＝??kk?1n?1nnk??akk??1?n A为一致阵时有：aii?1
k?1k?1nn
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