炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A??x?Z??4?x??1??2?，B??x?2x?4?，则AIB?（ ） x?2??4?A．x?1?x?2 B．??1,0,1,2? C．??2,?1,0,1,2? D．?0,1,2?
2．若复数z满足z??1?2i??1?3i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2??rrrr3．已知向量a??x?1,2?，b??2,1?，则“x?0”是“a与b夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．在?x?2?展开式中，二项式系数的最大值为a，含x项的系数为b，则
56a?（ ） bA．
5533 B．? C． D．? 33555．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B．4383 C．2 D． 33
rrrrrrrr7．已知a,b是平面内夹角为90°的两个单位向量，若向量c满足c?a?c?b?0，则c的最大值为（ ）
????A．1 B．2 C．3 D．2 8．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（ ）
A．1009 B．-1009 C．-1007 D．1008
x2y29．已知斜率为3的直线l与双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?交于A,B两点，若点P?6,2?是AB的中点，则双
ab曲线C的离心率等于（ ）
A．2 B．3 C．2 D．22 10．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个. A．53 B．59 C．66 D．71
y211．椭圆x?2?1?0?b?1?的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若?FAB的外接圆圆心P?m,n?在直线
b2y??x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．??2??2??1??1?,1,10, B． C． D．?????0,? ?2????22???2??????lnx,x?1?12．已知函数f?x???，若F?x??f? f?x??1??m有两个零点x1,x2，则x1?x2的取值范围是（ ）x??1?,x?1??2A．?4?2ln2,??? B．
?e,?? C．???,4?2ln2? D．??,e
???第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知双曲线经过点1,22，其一条渐近线方程为y?2x，则该双曲线的标准方程为 ．
??2x?111?x?sinx，14．已知函数f?x??x若正实数a,b满足f?4a??f?b?9??0，则?的最小值为 ． 2?1ab15．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A?BCD的外接球，BC?3，
AB?23，点E在线段BD上，且BD?3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ．
16．已知O为坐标原点，F为抛物线y2?2px?p?0?的焦点，若抛物线与直线l:x?3y?p?0在第一、四象2uuuruurOF?OA限分别交于A,B两点，则uuuruuurOF?OB????22的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．如图，在?ABC中，?B??3，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE?8，AC?410，?CED??4.
（1）求CE的长；
（2）若CD?5，求cos?DAB的值.
18．现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目. （1）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率；
（2）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记??X?Y，求随机变量?的分布列与数学期望E???. 19．如图1，在矩形ABCD中，AB?5，AD?2，点E,F分别在边AB,CD上，且AE?4，DF?1，AC交DE于点G，AF交DE于O.现将?ADF沿AF折起，使得平面ADF?平面ABCF，得到图2.
（1）在图2中，求证：CE?DG；
（2）在图2中，若点M是线段DE上的一动点，问点M在什么位置时，二面角M?AF?D的余弦值为
3. 5x2y220．已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的两个焦点分别为F1?2,0，F2ab???2,0，点M?1,0?与椭圆短轴的两
?个端点的连线相互垂直. （1）求椭圆C的方程；
（2）过点M?1,0?的直线l与椭圆C相交于A,B两点，设点N?3,2?，记直线AN,BN的斜率分别为k1,k2，求证：
k1?k2为定值.
21．已知函数f?x??lnx?2ax，a?R.
（1）若函数y?f?x?存在与直线2x?y?0垂直的切线，求实数a的取值范围； （2）设g?x??f?x??lnx1112?2?a. x，若g?x?有极大值点x1，求证：x1x12请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
??x?3??在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??y?4???极坐标系中，圆C的方程为??6sin?.
2t2（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的
Ot2t2（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （2）设点P?4,3?，直线l与圆C相交于A,B两点，求23．选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??2x?1?x?1. （1）求函数f?x?的值域M； （2）若a?M试比较a?1?a?1，
11?的值. PAPB37，?2a的大小. 2a2
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