提分专练(六) 以平行四边形为背景的中档计算题与证明题
|类型1| 四边形综合运用问题
1.[2017·酒泉] 如图T6-1,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F. (1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
图T6-1
2.阅读下面材料:
在数学课上老师请同学们思考如下问题:如图T6-3①,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到 的四边形EFGH是平行四边形吗? 小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC,
图T6-2
结合小敏的思路作答:
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由. 参考小敏思考问题的方法,解决问题: (2)如图②,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
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①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?写出结论并证明. ②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?直接写出结论.
图T6-3
|类型2| 四边形的折叠问题
3.[2018·宁夏] 将一张矩形纸片按如图T6-4所示折叠,若∠1=40°,则∠2的度数是 ( )
图T6-4
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
4.[2018·贵港] 如图T6-5,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC的对应边B'C'与CD交于点M,若∠B'MD=50°,则∠BEF的度
数为 .
图T6-5
5.如图T6-6,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE. (1)求证:△ADE≌△CED; (2)求证:△DEF是等腰三角形.
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图T6-6
6.[2014·淮安] 如图T6-7,在△ABC中,AD平分∠BAC,将△ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB,AC于点 E,F,连接DE,DF.求证:四边形AEDF是菱形.
图T6-7
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7.如图T6-8,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=,点E在边CD上移动,连接AE,将四边形ABCE沿直线AE折叠,得
到四边形AB'C'E,点B,C的对应点分别为点B',C'. (1)当B'C'恰好经过点D时(如图①),求线段CE的长;
(2)若B'C'分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°(如图②),求△DFG的面积; (3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C'运动的路径长.
图T6-8
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8.[2017·威海] 如图T6-9,四边形ABCD为一个矩形纸片,AB=3,BC=2,动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停 止.△ADP以直线AP为轴翻折,点D落到点D1的位置.设DP=x,△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y. (1)当x为何值时,直线AD1过点C? (2)当x为何值时,直线AD1过BC的中点E? (3)求出y与x的函数关系式.
图T6-9
|类型3| 四边形的平移、旋转问题
9.问题:如图T6-10①,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系. 【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图①证明上述结论. 【类比引申】
如图②,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在边BC,CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD.
【探究应用】
如图③,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD
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