部编版2020年中考数学总复习 提分专练06 以平行四边形为背景的中档计算题与证明题习题

∵E为BC中点,∴BE=CE=1. 在Rt△ABE中,

AE==.

∵AD1=AD=2,PD=PD1=x,

∴D1E=-2,PC=3-x.

在Rt△PD1E和Rt△PCE中,

x2+(-2)2=(3-x)2+12,解得x=.

∴当x=时,直线AD1过BC的中点E.

(3)如图③,当0≤x≤2时,y=x.

如图④,当2

∵∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴FP=FA. 作PG⊥AB,垂足为点G, 设FP=FA=a,

由题意得,AG=DP=x,FG=x-a.

在Rt△PFG中,由勾股定理,得(x-a)2

+22

=a2

,

解得a=,∴y=×2×=.

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综上所述,当0≤x≤2时,y=x;当2

9.[解析] 【发现证明】 根据旋转的性质可以得到AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,∠EAG=90°,再根据“SAS”证明△AFG≌△AFE可得EF=GF,由此证得结论.

【类比引申】 根据上面的特殊情况中∠EAF=∠BAD,猜想一般情况下也应满足∠EAF=∠BAD才能得到结论,证明过程与上面类似.

【探究应用】 连接AF.要运用这个几何模型必须先证明∠EAF=75°.过点A作AH⊥CD于点H,解两个直角三角形——Rt△AHD和Rt△AHF来得以实现.

解:【发现证明】 证明:由旋转可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,∠EAG=∠BAD=90°. ∵四边形ABCD为正方形,∴∠ADC=90°, ∴∠ADC+∠ADG=180°,∴G,D,C三点共线. ∵∠EAF=45°,∴∠GAF=45°,∴∠GAF=∠FAE. 又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS), ∴GF=EF.∵GF=GD+DF,∴EF=BE+DF.

【类比引申】 ∠EAF=∠BAD

理由如下:如图①,将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADG,使AB与AD重合. 由旋转可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG. ∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠ADG=180°, ∴G,D,C三点共线.

∵∠BAE=∠DAG,∴∠BAD=∠EAG.

∵∠EAF=∠BAD,∴∠GAF=∠FAE.

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又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS), ∴GF=EF. ∵GF=GD+DF,

∴EF=BE+DF.故答案为∠EAF=∠BAD.

【探究应用】 ∵∠BAD=150°,∠DAE=90°, ∴∠BAE=60°.

又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形, ∴BE=AB=80.

如图②,连接AF,过点A作AH⊥CD交CD的延长线于点H. 在Rt△AHD中,∠ADH=180°-∠ADC=60°,AD=80,

∴∠HAD=30°,HD=AD=40,AH==40.

∵DF=40(-1),

∴HF=HD+DF=40+40(-1)=40,

∴在Rt△AHF中,AH=HF,∴∠HAF=45°, ∴∠DAF=15°,∴∠EAF=90°-15°=75°,

∴∠EAF=∠BAD.

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运用上面的结论可得EF=BE+DF=80+40(-1)=40+40≈109.即这条道路EF的长约为109米.

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