3．1导数的概念
3．1.1 平均变化率
某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：
x(min) y(℃)
问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．
问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正、可负、可为零．
1．平均变化率
f?x2?－f?x1?
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. x2－x12．平均变化率与曲线变化关系
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
对平均变化率的理解
(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零． (2)平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
[对应学生用书P39]
0 39 10 38.7 20 38.5 30 38 40 37.6 50 37.3 60 36.8
[例1] 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[1,1.1]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率．
求平均变化率 [思路点拨] 直接利用平均变化率的定义求解即可． f?1.1?－f?1?2×1.12－2×120.42
[精解详析] (1)＝＝＝4.2.
0.10.11.1－1f?2.01?－f?2?2×2.012－2×228.080 2－80.080 2
(2)＝＝＝＝8.02.
0.010.010.012.01－2[一点通] 求函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤： 第一步：求x2－x1； 第二步：求f(x2)－f(x1)； f?x2?－f?x1?
第三步：由定义得出.
x2－x1
πππ
1．求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率．
632π
sin －sin 0
6π3
解：在0到之间的平均变化率为＝；
6ππ
－06ππsin －sin
233?2－3?ππ
在到之间的平均变化率为＝. 32πππ
－23
2.如图是函数y＝f(x)的图像，则：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为2－11
＝. 22
(2)由函数f(x)的图像知，
f?1?－f?－1?1－?－1?
＝
x＋3
，－1≤x≤1，2f(x)＝
??
?x＋1，1 33－f?2?－f?0?2 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝ 22－0 3 ＝. 4 13 答案：(1) (2) 24 4 [例2] 已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3. 3(1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时半径r的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？ [思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数r(V)的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算． 33V4333V[精解详析] (1)∵V＝πr，∴r＝，r＝ ， 34π4π∴r(V)＝ 33V. 4π 平均变化率的应用 (2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为 3 r?1?－r?0? ＝1－0 13×－04π ≈0.62(dm/L)． 1 函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为 3r?2?－r?1?231＝－ 3×－3×≈0.16(dm/L)． 4π4π2－1 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢． [一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题． 3．已知某一细菌分裂的个数随时间t s的变化满足函数关系式f(t)＝3t＋1，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？ 解：细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 f?2?－f?1?2 ＝3－3＝6， 2－1 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 f?4?－f?3?4 ＝3－33＝54. 4－3 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 f?6?－f?5?6 ＝3－35＝486. 6－5 由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快． 4．一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥形容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水时前t s水面上升的平均速率，并说明由此得出什么结论． 解：设注水t s时，水面高度为y cm，此时水面半径为x cm. yxr则＝，∴x＝y， hrhπ2πr2y3由题意知nt＝xy＝2， 33h33nh23∴y＝·t， πr2在[0，t]内水面上升的平均速率为： 33nh23·t－03πr23nh2－y?t?－y?0?3 v＝＝＝22(cm/s)，可见当t越来越大时，水面上升的平均πrtt－0t－0速率将越来越小． 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢．
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