在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队以“零米零秒”的误差通过天安门上空．
问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度．
问题2：瞬时变化率是导数吗？ 提示：是．
1．导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义， Δyf?x0＋Δx?－f?x0?x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一ΔxΔx个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导．并称该常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于” 几何 意义 2．导函数的概念 (1)导函数的定义：
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．
在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数． (2)f′(x0)的意义：
f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．
1．求曲线上一点处的切线的关键是利用割线逼近切线的方法求出切线的斜率． 2．瞬时速度为位移函数相对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度函数相对于时间的瞬时变化率．
3．“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别：“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简记为“导数”，是一个函数，它是对于一个区间而言的，是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关．
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 导数的概念 导 数 定义
[对应学生用书P42]
51
2，?，用切线斜率定义求： [例1] 已知曲线y＝x＋上的一点A??2?x(1)点A处的切线的斜率； (2)点A处的切线方程．
f?2＋Δx?－f?2?
[思路点拨] 先计算，再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值．
Δx1－Δx1
2＋?＝[精解详析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋－?＋Δx，
2＋Δx?2?2?2＋Δx?∴
－Δx－1ΔyΔx＝＋＝＋1. Δx2Δx?2＋Δx?Δx2?2＋Δx?
求曲线上一点的切线及斜率 Δy3
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于，
Δx43
即点A处的切线的斜率是.
453
(2)切线方程为y－＝(x－2)，
24即3x－4y＋4＝0.
[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线Δy
的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，无限趋近的常数．
Δx
1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于________． 解析：∵y＝2x3， 1Δy2?1＋Δx?－2·
∴＝ ΔxΔx
3
3
＝2(Δx2＋3Δx＋3) ＝2(Δx)2＋6Δx＋6.
Δy
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数6，
Δx
因而A处切线斜率为6. 答案：6
2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为________． f?x0＋Δx?－f?x0?2?Δx?2＋4x0Δx＋4Δx
解析：设P点坐标为(x0，y0)，则＝＝4x0＋4＋2Δx.
Δx?x0＋Δx?－x0当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4， 因此4x0＋4＝16，即x0＝3， 所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)
14
3．求曲线C：y＝x3＋在x＝2处的切线方程．
3314
解：把x＝2代入y＝x3＋，得y＝4，所以切点为
331414?2＋Δx?3＋－×23－
333Δy3
P(2,4)，又＝＝4＋
ΔxΔx1Δy
2Δx＋(Δx)2，当Δx趋近于0时，趋近于4.
3Δx
即切线斜率k＝4.所以所求切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
1
[例2] 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，经过时间t高度为s(t)＝v0t－gt2.求物体在t0
2时刻的瞬时速度．
Δs
[思路点拨] 先求Δs，再根据定义，当Δt→0时，趋近于常数来求．
Δt[精解详析] 由已知得：
1?1
v0t0－g t2Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－?20? ?21
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
2Δs1＝v0－gt0－gΔt. Δt2
瞬时速度和瞬时加速度 Δs
当Δt趋近于0时，趋近于v0－gt0.
Δt∴物体在时刻t0时的瞬时速度为v0－gt0. [一点通]
(1)求瞬时速度的步骤：
①求位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； －Δs
②求平均速度v＝；
Δt
Δs
③求瞬时速度：当Δt趋近于0时，趋近于v.
Δt(2)求瞬时加速度的步骤与上述求瞬时速度的步骤类似．
4．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为________．
解析：由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，
2
Δs－Δt－?Δt?所以＝＝－1－Δt.
ΔtΔt
Δs
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数－1.
Δt故物体在t＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－1
5．已知物体运动速度v与时刻t的关系为v(t)＝t2＋t.求物体在t＝2时的瞬时加速度． 解：∵Δv＝(2＋Δt)2＋(2＋Δt)－(22＋2)＝(Δt)2＋5Δt， Δv
∴＝Δt＋5. Δt
Δv
当Δt趋近于0时，趋近于常数5.
Δt∴物体在t＝2时的瞬时加速度为5.
1
[例3] 求函数f(x)＝2＋2在点x＝1处的导数．
x
求函数在某点处的导数
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