2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1-1讲学案：第三章 3.1 导数的概念

答案：1

1

4．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝

2________.

115

解析：由题意知f′(1)＝，f(1)＝＋2＝，

22251

所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.

22答案：3

31

1，－?，则在点P处的切线的倾斜角为________． 5．已知曲线y＝x2－2上一点P?2??21

解析：∵y＝x2－2，

2

12?1

?x＋Δx?2－2－??2x－2?Δy2

∴＝ ΔxΔx1

?Δx?2＋x·Δx21＝＝x＋Δx.

Δx2Δy

∴当Δx→0时，→x.

Δx

3

1，－?处的切线斜率为1， ∴y′|x＝1＝1，∴在点P?2??切线倾斜角为45°. 答案：45°

6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程． 3?1＋Δx?2－4?1＋Δx?＋2－?3×12－4×1＋2?

解：∵

Δx2Δx＋3?Δx?2＝＝2＋3Δx，

Δx

∴当Δx无限趋近于0时，2＋3Δx无限趋近于2， ∴f′(1)＝2，

所以直线的斜率为2，

所以直线方程为y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0.

7．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果

第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．

解：当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为：

f?6＋Δx?－f?6?

Δx

?6＋Δx?2－7?6＋Δx?＋15－?62－7×6＋15?＝

Δx5Δx＋?Δx?2＝＝5＋Δx.

Δx

当x趋近于6时，即Δx无限趋近于0，平均变化率趋近于5，所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5 ℃.

8．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由．

解：存在．设切点为(t，t2＋1)，

22

Δy?t＋Δx?＋1－?t＋1?则＝＝Δx＋2t， ΔxΔx

Δy

当Δx趋于0时，趋于2t，即

Δx切线斜率k＝f′(t)＝2t，

所以切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)， 将(1，a)代入得

t2－2t＋(a－1)＝0，因为有两条切线， 所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0， 解得a<2.