第三节 函数的奇偶性与周期性
[最新考纲] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性．
(对应学生用书第16页)
1．奇函数、偶函数的概念
图像关于原点对称的函数叫作奇函数； 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数． 2．奇(偶)函数的性质
(1)对于函数f(x)，f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)；
f(x)为偶函数?f(－x)＝f(x)．
(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)如果奇函数y＝f(x)在原点有定义，那么f(0)＝0. 3．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝
f(x)，那么f(x)为周期函数．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(3)若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是函数y＝f(x)的一个周期． [常用结论]
1．函数奇偶性的三个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝
1
fx，则T＝2a(a＞0)；
- 1 -
(3)若f(x＋a)＝－
1
fx，则T＝2a(a＞0)．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x，x∈(0，＋∞)是偶函数．
(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．
2
( ) ( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．
[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编
1．下列函数中为偶函数的是( ) A．y＝xsin x C．y＝|ln x|
2
( )
B．y＝xcos x D．y＝2
－x2
B [A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.]
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.
－2 [f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]
3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝
??－4x＋2，－1≤x＜0，???x，0≤x＜1，
2
3??则f??＝________.
?2?
2
?3??1??1?1 [f??＝f?－?＝－4×?－?＋2＝1.] ?2??2??2?
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
(－2,0)∪(2,5] [由图像可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又
f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]
- 2 -
(对应学生用书第17页)
⊙考点1 判断函数的奇偶性
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图像法：函数是奇(偶)函数?函数图像关于原点(y轴)对称．
(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列
结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝3－x＋x－3； lg1－x②f(x)＝；
|x－2|－2
??x＋x，x＜0，
③f(x)＝?2
?－x＋x，x＞0.?
2
22
2
(1)C [令F1(x)＝f(x)·g(x)，
则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x) ＝－F1(x)，∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误． 令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x) ＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．
令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．
令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．]
??3－x≥0，
(2)[解] ①由?2
?x－3≥0，?
2
- 3 -
得x＝3，解得x＝±3，
即函数f(x)的定义域为{－3，3}， 从而f(x)＝3－x＋x－3＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
?1－x＞0，?②由?
??|x－2|≠2，
2
2
2
2
2
得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， lg∴f(x)＝
1－x－x.
2
lg[1－－x又∵f(－x)＝
x]lg＝－
1－x－x2
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)－x＝－x－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)－x＝x－x＝－f(x)．
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
1.(2019·福州模拟)下列函数为偶函数的是( )
2
2
2
2
?π?A．y＝tan?x＋?
4??
C．y＝xcos x
B．y＝x＋e D．y＝ln|x|－sin x
2|x|
?π?2|x|
B [对于选项A，易知y＝tan?x＋?为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x＋e，
4??
则f(－x)＝(－x)＋e
2
|－x|
＝x＋e＝f(x)，所以y＝x＋e为偶函数；对于选项C，设f(x)＝
2|x|2|x|
xcos x，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数；对于选项
D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B.]
e－e
2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是( )
2
- 4 -
x－x
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