全国百强校[衡水金卷]2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三理科数学（五）试题

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1a?c?0, ?{222 取设平面MNQ的一个法向量为n??a2,b2,c2?，则{m?MQ?0a2?b2?0,m?MN?0c2?1，

则n??2,?2,1?，

由题知

m?nmn?1321634??4?6??1??1?31321639?64?2?252??153?0，

?2解得??故??

351或（与0???1矛盾，舍去）， 4163. 4719．(1) ;(2) ①见解析. ②见解析.

8【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三理科数学（五）试题

【解析】试题分析： ?1?结合题意求得骑行单车的大学生人数为500?60%?35%?105万，

??0.0167x?272，求出X的取值为0,1,2的概率，计算出概率?2?由题目得回归方程为y从而计算出其数学期望 解析：（1）骑行单车的大学生人数为500?60%?35%?105万， 故任选一大学生骑行单车的概率为

1057?. 1208（2）①求得：

?xi?152i?1398?108,x?160000,y?2400，

662117?10?5?16?10????2400?0.0167?160000??272， ?b?0.0167,a881398?10?5?256?10??0.0167x?272. 故所求回归方程为y??0.0167?250000?272?3903，即单车投放累计250000辆时，?x?250000时， y乱停乱放的单车数量为3903.

3C31②X的取值为0,1,2,P?X?0??3?，

C510答案第11页，总16页

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1C32C23， P?X?1???3C5512C3C3P?X?2??32?，

C510分布列如下： X P 0 1 101336?1??2??. 1051051 3 52 3 10E?X??0?x2y2??1;(2)见解析. 20．(1) 43【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三理科数

学（五）试题

【解析】试题分析： ?1?由题意圆M与圆C1、C2都相内切，得圆心M的轨迹是以

C1??1,0?,C2?1,0?为焦点，长半轴为4的椭圆，求出其轨迹方程

?2?设P?xP，yP?,QxQ，yQ??，计算出?C1QC2外角平分线方程为

y?yQ??3xQ4yQ?x?x?，再由??0求出结果

Q解析：（1）设圆M的半径为r，则MC1?r?1,MC2?5?r， ?MC1?MC2?4C1C2|， 故圆心M的轨迹是以C1??1,0?,C2?1,0?为焦点，长半轴为4的椭圆，

x2y2??1， 故轨迹E的方程为43（2）如图，延长C1Q到P，使QP?QC2，则C1P?2a?4，

答案第12页，总16页

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设

P?xP,yP?,Q?xQ,yQ?，则

C1Q??x2xQ?2xQ?1?3?Q?1??yQ?2321xQ??xQ?4?. 4228?C1P??C1Q??C1Q， {C1QxQ?4C1PxP?1?yP?8?xQ?1?xQ?48yQxQ?4,, kC2P?8yQxQ?44yQ??，

7xQ?43xQxQ?4??C1QC2外角平分线方程为y?yQ??3xQ4yQ?x?x?，

Q即y??3xQ4yQx?4xQ2?4yQ24yQ??3xQ4yQx?3， yQ2??3xQ3?代入椭圆方程，得3x2?4?x??12， ??4yQ?yQ??整理得

92x?2x?2yQ2yQyQ18xQ9xQ22?18xQ?99xQ?0， ???2??4?2?2?0.

?yQ?yQyQ??2故?C1QC2的外角平分线与曲线E相切.

点睛：本题主要考查了点的轨迹问题，在解答类似问题时要能够给出动点的运用路线然后才

能求出结果，结合椭圆内的三角形及其外角，设出点坐标，给出直线方程，联立直线与椭圆方程，利用根的判别式求出结果，本题需要学生有一定的计算能力，属于难题。 21．(1) f?x?的增区间为??2,1?，减区间为???,?2?,?1,???.(2)见解析.

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【解析】试题分析： ?1?求导得f??x????x?1??x?2?e，从而求出函数f?x?的单调

?x区间

?2?fx???2?化简得??e???x?3x?3?xlnx??e，令g?x????616?f?x?结合单调性，求出e1g?x??令h?x??x2?3x?3?xlnx，求导h?x??1，相乘证明结果

e解析：（1）f??x??2x?3?x2?3x?1e?x???x?1??x?2?e?x， 故在区间???,?2?内， f??x??0；

??答案第13页，总16页

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在区间??2,1?内， f??x??0； 在区间?1,???内， f??x??0，

故f?x?的增区间为??2,1?，减区间为???,?2?,?1,???.

（2）原式化为??f?x???x2?3x?3?xlnx?，令g?x???f?x?，

ee?e?由（1）可知g?x?在区间?0,?1内单调递减，在区间?1,???内单调递增，

?6???16g?x??g?1??2651??.（*） eee令h?x??x?3x?3?xlnx，则h??x??2x?2?lnx， 设s?x??h??x?，则s??x??2?故h??x??0仅有一解为x?1， 在区间?0,1?内， h??x??0， 在区间?1,???内， h??x??0， 故h?x??h?1??1.（**）

由（*）（**）式相乘得g?x?h?x??1?0， x1， e1?6x??3?1?xf?x????x?3??lnx??， 即??f?x???x?3x?3?xlnx???ex?e??e???e2?6???当x?1时，取等号.

点睛：本题考查了导数的综合运用，利用导数求出函数的单调性，在证明不等式成立时，采用了先求出一部分的最值，再求出俩个函数在最值情况的结果，即可证明不等式成立，本题的关键是理解题目意思，运用方法解题。 22．(1) a?3,b?1 (2)

2. 2【来源】【全国百强校】【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三理科数学（五）试题

【解析】试题分析：

?1?结合题意将极坐标方程化为

2?1y，代?入求出结果?2?设

3x2222????3sin??co?s3??2?co?2s32??答案第14页，总16页