广州市2014年中考数学试题和答案

广州市2014年中考数学试题和答案

广州市2014年初中毕业生学业考试

数 学

第一部分 选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．a（a?0）的相反数是（ A ）

（A）?a （B）a （C）a （D） 2．下列图形是中心对称图形的是（ D ）．

1a8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当

∠B?90?时，如图2?①，测得AC?2，当∠B=60?时，如图2?②，AC?（ A ）

（A）2 （B）2 （C）6 （D）22

ADADBCBC

图2-① 图2-②

9．已知正比例函数y?kx（k?0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x1，y2），且x1?x2，则下列不等式 中恒成立的是（ C ）．

（A） （B） （C） （D）

3．如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA?（ D ）

34（A） （B）

55（A）y1?y2?0 （B）y1?y2?0 （C）y1?y2?0 （D）y1?y2?0

10．如图3，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．设

（C） （D） 4．下列运算正确的是（ C ）

（A）5ab?ab?4 （B）??33443A．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG?DE；③AB?a，CG?b（a?b）④?a?b??S△EFO?b2?S△DGO．其中结论正确的个数是（ B ）

2DGGO； ?GCCEAD1a1b2 a?bBC（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

第二部分 非选择题（共120分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．△ABC中，已知∠A?60?，∠B?80?，则∠C的外角的度数是_____． 【答案】140?

12．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD?10，则

PE的长度为_____． 【答案】10 13．代数式

1有意义时，x应满足的条件为______． x?1GOBC（C）a6?a2?a4 （D）?a2b??a5b3

FE

5．已知O1和O2的半径分别为2cm和3cm，若O1O2?7cm，则O1和O2的位置关系是（ A ） （A）外离 （B） 外切 （C）内切 （D）相交 6．计算

x?4

，结果是（ B ） x?2

2

x?4x?2（A）x?2 （B）x?2 （C） （D）

x27．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8．对这组数据，下列说法正确的是（ B ） （A）中位数是8 （B）众数是9 （C）平均数是8 （D）极差是7

【答案】x??1

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14．一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______（结果保留?）． 【答案】24?

主视图左4视图19．（本小题满分10分）

已知多项式A??x?2???1?x??2?x??3. （1）化简多项式A； （2）若?x?1??6，求A的值.

22俯视图6解:（1）A?(x?2)2?(1?x)(2?x)?3

?x2?4x?4?2?2x?x?x2?3

15．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，

该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．

【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．

16．若关于x的方程x?2mx?m?3m?2?0有两个实数根x1、x2，则x1?x2?x1??x的最小值为 。

2222?(x2?x2)?(4x?2x?x)?(4?2?3)

?3x?3

（2）(x?1)2?6,则x?1??6 【答案】

三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分9分）

解不等式：5x?2?3x，并在数轴上表示解集.

解：移项得，5x?3x?2，

合并同类项得，2x?2， 系数化为1得，x?1， 在数轴上表示为：

18．（本小题满分9分）

如图5，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．

证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O

∴AO?CO，AB∥CD，∴∠EAO?∠FCO

??EAO??FCO?在△AOE和△COF中，?AO?CO，∴△AOE≌△COF

??AOE??COF?BCEAOFD054?A?3x?3?3(x?1)??36

20．（本小题满分10分）

某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：

自选项目立定跳远三级蛙跳–2–10123人数9128频率0.18a0.160.320.101 一分钟跳绳投掷实心球推铅球合计（1）求a，b的值；

b550（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数； （3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中

随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率． ．．解：（1）a?50??9?12?8?5??16

b?1??0.18?0.16?0.32?0.10??0.24

（2）“一分钟跳绳”所占圆心角=0.16?360?=57.6?

（3）至多有一名女生包括两种情况有1个或者0个女生，列表图：

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男A男B男C女D女E男A（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）男B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）男C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）女D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）女E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 解：（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3=520（千米）

（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为2.5x千米/时．

依题意有：

23、（本小题满分12分）

如图6，△ABC中，AB?AC?45，cosC?5． 5A520400??3，可得：x?120 x2.5x答：高铁平均速度为 2.5×120=300千米/时．

有1个女生的情况：12种 有0个女生的情况：6种

至多有一名女生包括两种情况18种 至多有一名女生包括两种情况=

21．（本小题满分12分）

已知一次函数y?kx?6的图像与反比例函数y??（1）求k的值和点A的坐标； （2）判断点B的象限，并说明理由．

2k?y???2k2k?x1 解：（1）将y?kx?6与y??联立得?，?kx?6??○

2kxx?y???x?2k解得k?2 24故一次函数解析式为y?2x?6，反比例函数解析式为y??

x2k的图像交于A、B两点，点A的横坐标为2． x189==0.90 2010（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的O，并标出O与AB的交点D，与

： BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的圆中：

①求证：DE?CE； ②求点D到BC的距离． 解：（1）如图所示，圆O为所求 （2）①如图连接OE、OD，设?B??,

又AB?AC,OA?OD?OE?OC

?8?0??OEC??C??B?? ?EOC??A1??2

B图6CA1式得2k?6??A点是两个函数图像交点，将x?2带入○

则?DOE??DOC??EOC?2?(180??2?)?(180??2?)?180??2?

??EOC??DOE，?DE?EC

DBOH将x?2代入y?2x?6得，y?2?2?6??2，?A的坐标为k?(2,?2) （2）B点在第四象限，理由如下：

一次函数y?2x?6经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， 因此它们的交点都是在第四象限.

22、（本小题满分12分）

从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． （1）求普通列车的行驶路程；

（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比

②连接CD,过A作AM?BC于M,过D作DH?BC于H

?cosC=

CMCM5, 又AB?AC=45， ?CM?4,BC?2CM?8 ??AC455E(M)C又AC为直径，??ADC??BDC?90?

设BD?a，则AD?45?a，在Rt?BDC和Rt?ADC中，

有AC2?AD2?BC2?BD2，即?45???45?a??82?a2，解得：a?2285 5即CD?BC2?BD2?1285 512又S?BCD?DH?BC?BD?CD，即?8?DH??1218516516，?DH??2555

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24．（本小题满分14分）

已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线y?ax2?bx?2（a?0）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标． （2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．

（3）若m?3，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0?t?522）个单位，点P、C移动后对

应的点分别记为P'、C'，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、P'、C'所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

?a1解：（1）依题意把A,B的坐标代入得 ??a?b?2?0???24?0，解得?16a?4b??

???b??32?抛物线解析式为y?12x2?32x?2 ?顶点横坐标x??b2a?32,将x?32代入抛物线得y??12?(32)2?33252?(2)?2??8

?C(32,?258)

（2）如图,当?APB?90?时,设D(x130,2x20?2x0?2),

则ED?x10?1,DF?4?x0,BF?2x230?2x0?2 过D作直线lx轴, AE?l,BF?l，??AED?BFD

1x23 0?x0?2?AE4ED?DFBF，?22x??x0(注意用整体代入法) 0?112x230?2x0?2 解得xD 1?0,x2?3，?D1(0,?2),2(3,?2) 当P在AD1,BD2之间时，?APB?90?

??1?m?0或3?m?4时，?APB为钝角. （3）依题意m?3，且?APB?90?，?P(3,?2)

设P,C移动t（t?0向右，t?o向左），?P?(3?t,?2),C?(325 2?t,?8)

连接AC?,P?C?,P?B，则CABP?C??AB?BP??P?C??C?A

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又AB,P?C?的长度不变，?四边形周长最小，只需BP??C?A最小即可 将C?A沿x轴向右平移5各单位到BC??处，P?沿x轴对称为P??

∴当且仅当P??、B、C??三点共线时，BP??C?A最小，且最小为P??C??，此时C??(13252?t,?8)

?P??(3?t,2)，设过P??C??的直线为y?kx?b，代入 ??(13?t)k?b??25?28;

?(3?t)k?b?2?∴??k??41?28 即y??41x?41(3?t)??41(3?t)282

??b?28?228将B(4,0)代入，得：?4128?4?41(3?t)28?2?0，解得：t??1541 ∴当，P、C向左移动1541单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。

yP''OBAxFEPP'CC'C''

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25．（本小题满分14）

如图7，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC?90?，AB?3,BC?4，CD?5，点E为线段CD上一动点（不与点C 重合），?BCE关于BE的轴对称图形为?BFE，连接CF，设CE?x，?BCF的面积为S1，?CEF11xBC?2,KM?CE? 222112x?16 BE?x2?16,则FK?BE?22KN?KL?的面积为S2．

DEC（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值； F（2）试用x表示

S2S，并写出x的取值范围； 1AB（3）当?BFE的外接圆与AD相切时，求S2S的值． 1

解：（1）如图○

1，HK为梯形ABCD的中位线，则CH?HB?2，过点E作EI?HK于点I，则有： EF?CE?x,EI?CH?2，在Rt?EFI中，有EF?x,EI?2，?FI?x2?4 在Rt?FBH中，BF?BC?4,BH?2，?FH?BF2?BH2?23

又HI?CE?x，FH?FI?IH?x?x2?4?23，解得：x?433

（2）如图○

2，BE交CF于点J，Rt?BCE与Rt?BFE关于BE对称， 则有：CJ?BE，?CJE??BJC?90 又?CEJ??ECJ?90,?BCJ??ECJ?90

2??CEJ??BCJ，??CEJ?BCJ，?S?CEHCEx2S?2?16

?BCHBC又Rt?BCE与Rt?BFE关于BE对称，S?CEJ?S?EFJ,S?CJB?S?BFJ

S2S?S?CEFS?S?CEJS?x2?(0?x?5) 1?BCF?BCJ16（3）如图○

3，当Rt?BFE的外接圆与AD相切时，则F为切点. ?BFE的圆心落在BE的中点，设为K

则有FH?AD，过点K作KL?AB,LM?BC,KN?CD， 连接KF,KA,KD,KC，得

又SABCD?S?DKA?S?CKD?S?CKB?S?AKB

?(3?5)?42?12?25?125?24x3?22x?16?2?2?2?2 解得：x1??32?203, x2??32?203（舍去）

S2?2x2(?32?203)S???139?803 11616DECDECFJHFIGABAB ① ②

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DENCKMFALB ③