2015年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）

2015年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学)

A卷选择题答案 一、 选择题

（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A、B卷非选择题答案 二、填空题

325（13）1 （14） (x?)2?y2? （16）

24 （15）3

二、

解答题

（17）解：

22?2an?4Sn?3，可知an（I）由an?1?2an?1?4Sn?1?3. 22可得an?1?an?2(an?1?a)?4an?1 即

222(an?1?an)?an?1?an?(an?1?a)(an?1?a)

由于an?0可得an?1?an?2.

又a12?2a1?4a1?3，解得a1??1(舍去)，a1?3

所以?an?是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为an?2n?1. （II）由an?2n?1

bn?11111??(?). ana?1(2n?1)(2n?3)22n?12n?3设数列?bn?的前n项和为Tn，则

Tn?b1?b2??bn

1?1111(?)?(?)??2?3557n?.3(2n?3)??(11?)?()?2n?12n?3?

（18）解：

（I）连结BD，设BD

AC=G，连结EG，FG，EF.

在菱形ABCD中不妨设GB=1.由?ABC=120°，

可得AG=GC=3.由 BE?平面ABCD, AB=BC可知AE=EC. 又AE?EC，所以EG=3，且EG?AC.在Rt?EBG中，

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可得BE=2故DF=62.在Rt?FDG中，可得FG=. 222， 2在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=可得FE=又AC32.从而EG2?FG2?EF2,所以EG?FG 2FG?G,可得EG?平面AFC.因为EG?平面AEC

所以平面AEC?平面AFC

（I） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，

GB为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.

2?3,0),E(1，0，2),F(?1，0，),C(0，3,0)所以 由（I）可得A(0，2AE?(1，32),CF?(?1，3,AE?CF32??. ).故cosAE,CF?32AE?CF3. 3所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为

（19）解：

（I）由散点图可以判断，y?c?dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 ……2分 （II）令w?x，先建立y关于w的线性回归方程。由于

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?? d?(w?w)(y?y)iii?1n?(w?w)ii?1n?2108.8?68 1.6??563?68?6.8?100.6。 ??y?dwc??100.6?68w，因此y关于x的回归方程为所以y关于w的线性回归方程为y??100?y.6x6。8 ……6分

（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值

??100.6?6849?576.6 y年利润z的预报值

??576.6?0.2?49?66.32。 ……9分 z （ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值

??0.2(100.6?68x)?x??x?13.6x?20.12 z 所以当x?13.6?取得最大值 ?6.8，即x=46.24时，z2 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ……12分

（20）解：

xx2（-2a,a）.又y?=，故y?在x?2a （I）有题设可得M(2a,a),N(?2a,a),或M24处的导数值为

y?aaa?x?0 y?a，C在点(2aa,出)的切线方程为

?a(x?2即a),x2y?在x??2a，即ax?y?a?0.

4股所求切线方程为ax?y?a?0和ax?y?a?0 （III） 存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为k1,k2

y?kx?a代入C的方程得x2?4kx?4a?0.

故x1?x2?4k,x1x2??4a.

从而kx?a代入C的方程得x2?4kx?4a?0.

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