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第3节 定积分与微积分基本定理
最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.
知 识 梳 理
1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式? f(ξi)?x??i＝1
i?1nnb?a f(ξi)，当nn→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?bf(x)dx，即?bf(x)dx＝
?a?a
在?bf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，
?a函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式. (2)定积分的几何意义
f(x) f(x)≥0 b?f(x)dx的几何意义 ?a表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 f(x)＜0 f(x)在[a，b]上有正有负 2.定积分的性质 (1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数). ?a?a(2)?b[f1(x)±f2(x)]dx＝?bf1(x)dx±?bf2(x)dx. ?a?a?a(3)?bf(x)dx＝?cf(x)dx＋?bf(x)dx(其中a＜c＜b). ?a?a?c
...
...
3.微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么?bf(x)dx
?a＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以??
把F(b)－F(a)记为F(x)?，即?bf(x)dx＝F(x)?)＝F(b)－F(a). ?a?a?a[常用结论与微点提醒]
1.函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则?af(x)dx＝2?af(x)dx.
?0?－a(2)若f(x)为奇函数，则?af(x)dx＝0.
?－a
2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.
3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?bf(x)dx＝?bf(t)dt.( )
?a?a(2)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是?1(x2－x)dx.( ) ?0
(3)若?bf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴
?a下方.( )
(4)定积分?bf(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯
?a形的面积.( )
(5)加速度对时间的积分是路程.( )
解析 (2)y＝x2与y＝x所围成的面积是?1(x－x2)dx.
?0
(3)若?bf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形在x轴下方
?a的面积比在x轴上方的面积大.
(4)定积分?bf(x)dx等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成图形的面积的
?a
...
b
b
...
代数和.
(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是( ) A.10t20
B.5t20
102
C.3t0
答案 B
3.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.22 C.2
B.42 D.4
5
D.3t20
解析 如图，y＝4x与y＝x3的交点 A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积. ?214??32
S阴＝?(4x－x)dx＝?2x－4x??0
????
0
2
1
＝8－4×24＝4. 答案 D
4.汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是( ) 13
A.2 m
2
B.6 m
15
C.2 m
D.7 m
?32??2
解析 s＝?(3t＋2)dt＝?2t＋2t??
???1?13713?3?
＝2×4＋4－?2＋2?＝10－2＝2(m). ??答案 A
5.若?0x2dx＝9，则常数a的值为________.
?a
13?01
解析 ?xdx＝3x?＝－3a3＝9，∴a3＝－27，a＝－3.
?a?a
02
...
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答案 －3
考点一 定积分的计算(典例迁移)
【例1】 (1)(2017·合肥模拟)?π(cos x＋1)dx＝________.
?0(2)?2|x2－2x|dx＝________. ?－2(3)?1(2x＋1－x2)dx＝________. ?0
?π
解析 (1)?(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)?＝π.
?0?0
π
(2)?2|x2－2x|dx＝?0(x2－2x)dx＋?2(2x－x2)dx ?0?－2?－28?132??0?213??28
＝?3x－x??＋?x－3x??＝3＋4＋4－3＝8. ???－2???0
1(3)?11－x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的4， ?0∴??0
1
π
1－xdx＝4.
21
2?
1
又∵? 2xdx＝x?＝1，
?0?0
∴?1(2x＋1－x2)dx＝?12xdx＋?11－x2dx
?0?0?0π＝1＋4.
π
答案 (1)π (2)8 (3)1＋4
【迁移探究1】 若将例1(1)中的积分变为?π(cos x＋a)dx＝2π，求实数a的值.
?0?π
解 ?(cos x＋a)dx＝(sin x＋ax)?＝aπ，即aπ＝2π，故a＝2.
?0?0
π
【迁移探究2】 若将例1(3)中的条件变为?a(2x＋a2－x2) dx＝2π，其中a>0，
?－a求实数a的值.
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