2.3.1 等比数列的概念
教学目标：
1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概念． 2. 利用等比数列解决实际问题． 教学重点：
等比数列的概念． 教学难点：
理解等比数列“等比”的特点．可以通过与等差数列进行类比来突破难点．
教学方法：
启发式、讨论式． 教学过程：
一、问题情境
情境1：某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为
1,2,4,8,16,LL
情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为
1111,,,,LL 24816情境3：某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10﹪（就是说这辆车每年减少它的价值的10﹪），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 36,36?0.9,36?0.9,36?0.9,LL
问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？ 二、学生活动 通过观察，发现：
1．上述数列的共同特征，从第2项起，每一项都与它的前一项的比等于同一个常数．而等差数列的特征是，从第2项起，每一项都与它的前一项的差等于同一个常数．
2．根据这一规律可以发现任何一项都可以找出来．
23 1
通过讨论，得到这些问题共同的特点是，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． 三、建构教学
1. 归纳总结，形成等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
2. 符号记法，若数列?an?为等比数列，公比为q，则
an?q(n?2)． an?1问题1：下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？ （1）1,1,1,1,1； （2）0,1,2,4,8； （3）1,?1111 ,,?,； （4）x,x2,x3,x4．
24816问题2：一个数列是等比数列，那么它的项和公比必须满足什么条件？ 问题3：当等比数列的公比为负数的时候，数列每一项有什么样的特征？ （学生讨论回答）
答 问题1中（1）、（3）是等比数列，公比分别是1和?等于0的时候是，等于0的时候不是．
问题2中等比数列的每一项都不能为0，公比也不能等于0． 问题3中项是呈正负交替出现，形成摇摆数列． 3. 等比中项的概念．
2若a,G,b成等比数列，那么G叫a和b的等比中项，且G?ab,G??ab．
1；（2）不是；（4）当x不2注：同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数．
四、数学运用 1. 例题．
例2 （1）在等比数列?an?中，是否有an?an?1an?1(n?2)？
2（2）如果数列?an?中，对于任意的正整数?n?2?，都有an?an?1an?1，那
2么?an?一定成等比数列吗？
引导学生利用课本P36例3的证明过程对等比数列进行讨论，只是要提醒学生等比数列
2
每一项均不为0．所以（2）不一定成立，只有在每一项均不为0的时候才成立．
总结判定数列是否是等比数列的两个方法：定义法和等比中项法． 例3 已知等比数列?an?的首项为a1，公比为q．
（1） 新数列an,an?1,an?2,?,a2,a1也是等比数列吗？如果是，公比是多少？ （2） 依次取出数列?an?所有的奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等 比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？
（3） 数列?can??c?0?是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？ 引导学生讨论，按照等比数列的定义，利用
an?q(n?2)判断．归纳总结一般性的结论：an?1如果取出的项下标成等差数列，按照原来的顺序排列形成的新数列依然是等比数列，公比是q（d为下标成等差数列时的公差）
2. 练习．
（1） 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：
①（ ），3,27； ②3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），
d81． 8（2） 直角三角形的三边a,b,c成等比，c为斜边，则sinA?___________． （3） 已知数列?an?满足：lgan?3n?5，试用定义证明?an?是等比数列． 五、要点归纳与方法小结
1. 了解等比数列的概念，形成与等差数列的一个对比； 2. 对于等比数列的每一项均不为0要进行讨论； 3. 证明一个数列是等比数列要用定义法证明，即六、课外作业
课本练习P51第1，2，3，6题．
an?q?n?2?． an?1 3
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