课时跟踪检测(二十八) 平面向量的概念及其线性运算
一、题点全面练
―→―→
1．已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2AC＋CB＝0，―→
则OC＝( )
―→―→
A．2OA－OB 2―→1―→C.OA－OB 33
―→―→
B.－OA＋2OB 1―→2―→D．－OA＋OB
33
―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选A 依题意，得OC＝OB＋BC＝OB＋2AC＝OB＋2(OC－OA)，所以OC―→―→
＝2OA－OB，故选A.
―→1―→―→―→
2．(2019·石家庄质检)在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA
2―→
＝b，则CD＝( )
12A.a＋b 3334C.a＋b 55
21
B.a＋b 3343D．a＋b
55
―→1―→―→1―→―→―→―→―→1―→―→1―→
解析：选B ∵BD＝DA，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋(CA
2333―→2―→1―→21
－CB)＝CB＋CA＝a＋b，故选B.
3333
3．(2018·大同一模)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为―→―→―→
F，设AB＝a，AD＝b，则向量BF＝( )
12A.a＋b 3312C．－a＋b
33
12B.－a－b
3312D．a－b
33
BFAB
解析：选C 如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，
EFEC112―→2―→2―→―→2
b－a?＝－a＋b，故选C. 所以BF＝BE＝(BC＋CE)＝?333?2?33
―→―→―→
4．(2019·丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋PB＋PC＝―→
2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为( )
A．2 C．4
B.3 D．8
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选A ∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA→S△ABCBC|―CB|―→
∥CB，且方向相同，∴＝＝＝3，
→S△PABAP|―PA|
S△ABC
∴S△PAB＝＝2.
3
5．(2018·安庆二模)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若―→―→―→
存在实数λ和μ，使得BM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝( )
1A. 2C．2
1B.－
2D．－2
―→
解析：选B 如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得BD＝―→―→―→tBC＝t(AC－AB)．
1―→1―→―→1―→―→―→
因为M是线段AD的中点，所以BM＝(BA＋BD)＝(－AB＋tAC－tAB)＝－(t
222―→1―→
＋1)·AB＋tAC.
2
11―→―→―→
又BM＝λAB＋μAC，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，
221
所以λ＋μ＝－.故选B.
2
―→―→―→―→―→
6．已知O为△ABC内一点，且2AO＝OB＋OC，AD＝tAC，若B，O，D三点共线，则t的值为________．
―→―→―→
解析：设线段BC的中点为M，则OB＋OC＝2OM. ―→―→―→―→―→因为2AO＝OB＋OC，所以AO＝OM，
→1―→1――→1―→1―→―→1―→1―→
则AO＝AM＝(AB＋AC)＝?AB＋tAD?＝AB＋AD.
?4244?4t111
由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.
44t31
答案：
3
―→1―→
7．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝AC＋
4―→
λAB (λ∈R)，则AD的长为________．
13
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，
44―→1―→
过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN＝AC，
4
―→3―→
AM＝AB，∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，∴四边形ANDM为菱形，
4∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，AD＝33.
答案：33
―→―→
8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与―→―→―→
点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是________．
―→―→
解析：设CO＝yBC，
―→―→―→―→―→―→―→―→∵AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB) ―→―→＝－yAB＋(1＋y)AC.
―→―→
∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)， 1―→―→―→0，?，∵AO＝xAB＋(1－x)AC， ∴y∈??3?1
－，0?. ∴x＝－y，∴x∈??3?1
－，0? 答案：??3?
9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，―→―→―→―→
且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
―→1―→―→11解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.
222
―→―→―→2―→―→1―→―→
AG＝AB＋BG―→＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)
332―→1―→―→1―→1―→
＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC 333311＝a＋b. 33
―→―→―→―→―→
10．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
―→―→
解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条―→―→
直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
??t－3＋3k＝0，6
因为a，b不共线，所以有?解得t＝. 5
??t－2k＝0，
6
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
5
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
ab
1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
|a||b|A．a＝－b C．a＝2b
B.a∥b
D．a∥b且|a|＝|b|
baba
解析：选C 因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，|a||b||a||b|所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D.
aba2bb
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
|a||2b||b||a||b|
―→
―→―→AB
2．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且OP＝OA＋，则( )
―→|AB|A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上
―→―→
1――→―→AB―→―→AB―→→
解析：选D 由OP＝OA＋，得OP－OA＝，∴AP＝·AB，∴点P在
―→―→―→|AB||AB||AB|射线AB上，故选D.
3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为( )
A．1
1
B.－
2
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