高三数学一轮复习精讲精练：导数及其应用

第十四章 导数及其应用

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.

2. 熟记八个基本导数公式(c,xm(m为有理数)，sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． 知识网络

考纲导读 导数的概念导数导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值

高考导航 导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.

第1课时 变化率与导数、导数的计算

基础过关 1．导数的概念：函数y＝f(x)的导数f?(x)，就是当Δx?0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比

?y的 ，即f?(x)＝ ＝ ． ?x2．导函数：函数y＝f(x)在区间(a, b)内 的导数都存在，就说f(x)在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做f(x)的 ，记作f?(x)或y?x，函数f(x)的导函数f?(x)在x?x0时的函数值 ，就是f(x)在x0处的导数.

3．导数的几何意义：设函数y＝f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0,y0)处的 . 4．求导数的方法

(1) 八个基本求导公式

(C)?＝ ； (xn)?＝ ；(n∈Q)

(sinx)?＝ ， (cosx)?＝ (ex)?＝ ， (ax)?＝ (lnx)?＝ ， (logax)?＝

(2) 导数的四则运算

(u?v)?＝ [Cf(x)]?＝ (uv)?＝ ，(u)?＝ (v?0)

v(3) 复合函数的导数

y?f(u)在点u??(x)处可导，设u??(x)在点x处可导，则复合函数f[?(x)]在点x处可导， 且f?(x)??u?＝ ，即y?x?yux. 典型例题 例1．求函数y=x2?1在x0到x0+Δx之间的平均变化率.

2解 ∵Δy=(x0??x)2?1?x0?1?2(x0??x)2?1?x0?1(x0??x)?1?22x0

?1 ?2x0?x?(?x)22(x0??x)2?1?x0?1,??y2x0??x?.

22?x(x0??x)?1?x0?1变式训练1. 求y=x在x=x0处的导数

解 limx0??x?x0(x0??x?x0)(x0??x?x0)?y?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x(x0??x?x0)?lim1x0??x?x0?x?0?12x0.

例2. 求下列各函数的导数： （1）y?x?x5?sinxx2; （2）y?(x?1)(x?2)(x?3);

11?x?11?x.

xx? （3）y??sin??1?2cos2?; （4）y?2?4?1x2 解 (1)∵y? ∴y′?(x??x5?sinxx2?x?32?x3?5sinxx2,

32)??(x3)??(x?2sin2

3?x)???x2?3x2?2x?3sinx?x?2cosx.

23

2

2

（2）方法一 y=（x+3x+2）（x+3）=x+6x+11x+6，∴y′=3x+12x+11. 方法二 y?=?(x?1)(x?2)??(x?3)?(x?1)(x?2)(x?3)? =（?x?1）?(x?2)?(x?1)(x?2)??（x+3）+（x+1）（x+2）

=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x

2

xx?1（3）∵y=?sin???cos??sinx,

2?2?2?1?1?1∴y???sinx??(sinx)??cosx.

2?2?2（4）y?11?x?11?x?1?x?1?x(1?x)(1?x)?2 ， 1?x?2?2??2(1?x)??. ∴y?????(1?x)2(1?x)2?1?x?变式训练2：求y=tanx的导数.

?1?sinx?(sinx)?cosx?sinx(cosx)?cos2x?sin2x??. 解 y′????cos2xcos2xcos2x?cosx?例3. 已知曲线y=x3?.1343

（1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

2

解 （1）∵y′=x,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y?|x=2∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=x3?则切线的斜率k=y?|

13

4134?与过点P（2，4）的切线相切于点A???， ?x0,x033??3x?x0=x.

2024134?2∴切线方程为y?????x0(x?x0),即y?x?x?x?. ?x023?33?030323?x0?, ∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02343323222即x0?3x0?4?0,?x0?x0?4x0?4?0,∴x0(x0?1)?4(x0?1)(x0?1)?0,

∴(x0+1)(x0-2)=0,解得x0=-1或x0=2,

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

32

变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x-3x+2x相切，则k= . 答案 2或? 例4. 设函数f(x)?ax?1 (a,b∈Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3. x?b142

（1）求f(x)的解析式；

（2）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解 f?(x)?a?1， (x?b)21?9?a?,?2a?2?b?3,??a?1,4 于是?解得?或???1?b??1,?b??8.?a??0,2??3?(2?b)?因为a,b?Z，故f(x)?x?1. x?1??00（2）证明 在曲线上任取一点??x,x?由f?(x)?1?01??． x0?1??1知，过此点的切线方程为 (x0?1)2?x02?x0?1?1y???1?(x?x0)． 2?x0?1?(x0?1)?令x=1，得y??x0?1?x0?1?，切线与直线x=1交点为??1,x?1?． x0?1?0?000令y=x，得y?2x?1，切线与直线y=x的交点为(2x?1,2x?1)． 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为

1x0?112?12x0?1?1?2x0?2?2． 2x0?12x0?1所以，所围三角形的面积为定值2.

432

变式训练4：偶函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式 解 ∵f（x）的图象过点P（0，1）， 又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）

432432

故ax+bx+cx+dx+e=ax-bx+cx-

∴b=0，

42

∴f（x）=ax+cx

∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1） ∴a+c+1=-

3

∵f?(1)=(4ax+2cx)|x=1=4a+2c， 由③④得a=，c=?5292函数y=f（x）的解析式为f(x)?x4?x2?1.

5292 小结归纳 1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。

2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.

3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.

第2课时 导数的概念及性质

基础过关 1． 函数的单调性

⑴ 函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f?(x)＞0，则f(x)为 ；若f?(x)＜0，则f(x)为 .（逆命题不成立）

(2) 如果在某个区间内恒有f?(x)?0，则f(x) .

注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数f(x)的 ；

② 求f?(x)，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③ 把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定f?(x)在各小开区间内的 ，根据f?(x)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的增减性.

2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念

设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有 （或 ），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值．称x0为极大（小）值点.

⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数f?(x)；

② 求方程f?(x)＝0的 ；

③ 检验f?(x)在方程f?(x)＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 .

3．函数的最大值与最小值：

⑴ 设y＝f(x)是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝f(x)在(a ,b )内有导数，则函数y＝f(x)在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：

① 求y＝f(x)在(a ,b )内的 值；

② 将y＝f(x)的各 值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(3) 若函数y＝f(x)在[a ,b ]上单调递增，则f(a)为函数的 ，f(b)为函数的 ；若函数y＝f(x)在[a ,b ]上单调递减，则f(a)为函数的 ，f(b)为函数的 . 典型例题 x

例1. 已知f(x)=e-ax-

（1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

x

解：f?(x)=e-

x

（1）若a≤0，f?(x)=e-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增 若a>0,e-a≥0,∴e≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为（2）∵f（x）在R内单调递增，∴f?(x)≥0在R上恒成立

x

x

x

x

∴e-a≥0，即a≤e在R上恒成立

xx

∴a≤（e）min，又∵e>0，

x

（3）方法一 由题意知e-a≤0在（-∞，0］上恒成立

xx

∴a≥e在（-∞，0］上恒成立.∵e在（-∞，0］上为增函数

xx

∴x=0时，e最大为1.∴a≥1.同理可知e-a≥0在［0，+∞）上恒成立

x

∴a≤e在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，