2019 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8分和 0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9小题 4分为一个档次，第 10、11小题 5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 已知正实数a满足aa=(9a)8a，则log(3a)的值为． a 答案：9 1618解：由条件知9a=a，故3a=9a?a?a，所以loga?3a??9169． 162. 若实数集合{1, 2, 3, x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为 ．
3答案：-
12
解：假如 x?0，则最大、最小元素之差不超过max{3, x}，而所有元素之和大于max{3,x}，不符合条件．故 x<0，即 x为最小元素．于是3-x=6+x，解得 3x=-
23. 平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足a?e=2，且a?5a?te 对任意实数t成立，则a的取值范围是
答案：
．
2解：不妨设e= (1, 0) ．由于a?e= 2 ，可设a= (2, s) ，则对任意实数t ，有4?s?a?5a?te?5?2?t??s2， 222这等价于4?s2?5s，解得s??1,4?，即s2??1,16?． 于是a?4?s2?5,25. 4.设A,B为椭圆?的长轴顶点，E,F为?的两个焦点，AB?4,AF?2?3,P为?上一点，满足PE?PF?2,则?PEF的面积为．
答案：1
x2y2解：不妨设平面直角坐标系中?的标准方程为2?2?1?a?b?0?. ab?? 22根据条件得2a?AB?4,a?a?b?AF?2?3,可知a?2,b?1, 22且EF?2a?b?23. 由椭圆定义知PE?PF?2a?4,结合PE?PF?2得 PE?PF??PE?PF??2PE?PF?12?EF, 22221PE?PF?1. 25. 在1,2,3,,10中随机选出一个数a，在-1,-2,-3,个数b，则a2+b被3整除的概率为 ．
所以?EPF为直角，进而S?PEF?,-10中随机选出一
37答案：. 100解：数组(a, b) 共有102 =100 种等概率的选法． 考虑其中使a2 +b 被 3 整除的选法数 N ．
若a 被 3 整除，则b 也被 3 整除．此时a, b 各有 3 种选法，这样的(a, b) 有 32=9组．若a不被 3 整除，则a2?1(mod3) ，从而b?-1(mod3)．此时a有 7 种选法， b有 4 种选法，这样的(a,b)有7?4=28组．
因此 N = 9 + 28 = 37 ．于是所求概率37. 1006.对任意闭区间I，用MI表示函数y=sinx在I上的最大值．若正数a满足M[0,a]=2M[a,2a]，则a的值为 ． 答案：513?或?. 612解：假如0?a?条件不符. ?2,则由正弦函数图像性质得0?M[0，a]?sina?M[a,2a],与 因此a??1,此时M[0，a]?1，故M[a，?.于是存在非负整数k，使得2a]22 5132k????a?2a?2k???, ①
66且①中两处“≤”至少有一处取到等号.
513513当k=0时，得a??或2a??.经检验，a??，?均满足条件.
66612当k?1时，由于2k??135????2?2k????,故不存在满足①的a. 66??513a的值为?或?.综上，
612
7. 如图，正方体ABCD — EFGH的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且
EK将正方体分成体积比为3:1的两部分，则的值为 .
KF
答案：3.
解：记?为截面所在平面．延长AK,BF交于点P，则P在?上，故直线CP 是? 与平面 BCGF 的交线．设CP 与 FG 交于点 L ，则四边形AKLC 为截面．
因平面 ABC平行于平面 KFL，且 AK, BF, CL共点 P，故 ABC- KFL为棱 台．不妨设正方体棱长为 1，则正方体体积为 1，结合条件知棱台 ABC- KFL 的1体积V?. 4KFFLPFh设PF=h,则???.ABBCPBh?1注意到PB，PF分别是棱锥P-ABC与棱锥P-KFL的高，于是 111?V?VP?ABC?VP-KFL?AB?BC?PB?KF?FL?PF466 3??h??3h2?3h?11?(h?1)?1???.??2??6h?16(h?1)?? ??1EKAE1化简得3h2?1,故h?.从而???3.KFPFh3 8.将6个数2,0, 1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为
0），则产生的不同的8 位数的个数为 ． 答案： 498 ．
解：将2, 0, 1, 9, 20, 19 的首位不为0 的排列的全体记为 A ．
易知 |A|=55!=600（这里及以下， X表示有限集 X的元素个数）． 将 A 中2 的后一项是0 ，且1的后一项是9 的排列的全体记为 B ；A 中2 的后一项是0 ，但1的后一项不是9 的排列的全体记为C ； A 中1的后一项是9 ，但2 的后一项不是0 的排列的全体记为 D ．
易知|B| = 4!，|B| +| C| = 5!， |B| +|D| = 4×4!，即|B| = 24,|C| = 96,|D| = 72 ． 由 B 中排列产生的每个 8 位数，恰对应 B 中的2×2 = 4 个排列（这样的排列中， 20 可与“ 2, 0 ”互换，19 可与“1, 9 ”互换）．类似地，由C 或 D 中排列产 生的每个 8 位数，恰对应C 或 D 中的2 个排列．因此满足条件的 8 位数的个数为
BC?D? A\\?B?C?D?? 423BCD???600?18?48?36?498. =A?422
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）在?ABC 中，BC = a, CA = b, AB = c ．若b 是a 与c 的 等比中项，且sin A 是sin(B - A) 与sin C 的等差中项，求cos B 的值． 解：因b 是a, c 的等比中项，故存在q > 0 ，满足
b = qa, c = q2a ． 因sin A 是sin(B - A), sin C 的等差中项，故
①
2sin A = sin(B - A) + sin C = sin(B - A) + sin(B + A) = 2sin B cos A ．
…………………4 分
结合正、余弦定理，得
asinAb2?c2?a2??cosA?, bsinB 2bc即b2?c2?a2?2ac.…………………8分
将①代入并化简，可知q2 + q4 -1 = 2q2 ，即q4 = q2 +1，所以
q2?5?1. …………………12 分 2c2?a2?b2q2?1?q215?1cosB????. …………………16 分
2ac2q2q2210. （本题满分 20 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆W 与抛物线G : y2 = 4x
恰有一个公共点，且圆W 与 x 轴相切于G 的焦点 F ．求圆W 的半径．
解：易知G 的焦点 F 的坐标为(1, 0) ．设圆W 的半径为r (r > 0) ．由对称性， 不妨设W 在 x 轴上方与 x 轴相切于 F ，故W 的方程为
(x -1)2 +( y - r)2 = r 2 ．
将
2①
?y2?y22?代入① 并化简，得??1?y?2ry?0.显然y?0, 故 x??4?4??22??y2?42??1?y2???1??y?. r?????2y?432y??? ②
??…………………5分
根据条件，②恰有一个正数解 y ，该 y 值对应W 与G 的唯一公共点．
?y考虑f?y??
?432y2??y?0?的最小值.2
3444?4?由平均值不等式y2?4?y????44y2???,从而333?3?
143?4?f?y???16y2????.32y39??
42343当且仅当y2?，即y?,f?y?取到最小值.…………………15分
339
4343.又假如r?,因f?y?随y连续变化，且y?o?由②有解可知r?99
3?23??23??及??上均有解，及y???时f?y?均可任意大，故②在?0, ，??????3??3??与解的唯一性矛盾。 综上，仅有r??123?43?是?与?的唯一公共点）。 满足条件（此时?,??9?33?………………20分
11.（本题满分 20 分）称一个复数数列?zn?为“有趣的”，若z1?1,且对任意
22正整数n，均有4zn?1?2znzn?1?zn?0.求最大的常数C，使得对一切有趣的数列?zn?及任意正整数m，均有z1?z2??zm?C.
2解：考虑有趣的复数数列?zn?.归纳地可知zn?0?n?N??.由条件得
?zn?1??zn?1?????4??2?1?0n?N, ?z??z??n??n?zn?1z-1?3i1-1?3i?n?1?故 ?，?n?N?.因此
42zz4nn??解得
zn?1zn??zn?z1?11???. ① n?N?n?1n?122…………………5分
进而有 zn?zn?1?zn?1?zn?113?3i3?n?1??n?n?N??. ② zn242记Tm? z1?z2??zm?m?N??.
当m?2s?s?N??时，利用②可得
Tm?z1?z2-?z2k?1?z2kk?2s3?3?33???z2k?1?z2k???2k?1?. 2k?22k?223………………10分
当m?2s?1s?N?时，由①、②可知
??z2s?1故
??133?2s???2k?1??z2k?1?z2k, 2s-123?2k?s?12k?s?13?3?s?Tm?z1?z2-??z2k?1?z2k??z2s?1???z2k?1?z2k?.
2k?23?k?2?3. 当m=1时，T1?z1?1?33以上表明C?满足要求. ……………………15分
3-1?3i-1?3i???,z?k?N时，易验证知 另一方面，当z1?1,z2k?2k?12k2k?122?zn?为有趣的数列，此时
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