(2)设f(x)在[0,1]上三阶可导、连续，且|f(0)|?0，|f(1)|?内至少存在一点?，使|f///11，f/()?0，证明在(0,1)22(?)|?12
解：由于f(x)?f(x0)?f/(x0)(x?x0)?111时，有0?f()?f2281111当x?1,x0?时，有?f()?f2228当x?0,x0?两式相减得f而f//////1//1f(x0)(x?x0)2?f///(?)(x?x0)3 261///1//1()?f(?1) ?1?(0,) 24821///1//1()?f(?2) ?2?(,1) 2482(?2)?f///(?1)?24
(?2)?f///(?1)?24 即|f///(?2)?f///(?1)|?|f///(?1)|?|f///(?2)| (?)|?max{|f///(?1)|,|f///(?2)|},则|f///(?)|?12
x?(a,b)x?(a,b)令|f///[2]题中已知maxf(x)?A或minf(x)?B，则在f(x)的最值点x0?(a,b)处展开，此时f(x0)?0
例16设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)?f(1)?0又minf(x)??1，证明在(0,1)上
x?[0,1]/存在一点?，使f(?)?8
/解：设f(x)在??(0,1)处取得最小值，此时f(?)?minf(x)??1，且f(?)?0
x?[0,1]//由泰勒公式知 f(0)?f(?)?f(?)??/21//f(?1)?2 得f//(?1)?2 2? f(1)?f(?)?f(?)(1??)?/21// f(?2)(1??)2 得f//(?2)?2(1??)2//令f(?)?max{f(?1),f(?2)} 则f(?)?//////2?2?2 2(1??)因为
2?2?2//f(?)?8 的最值为8，故2(1??) [3]如果区间是(??,??)时
37
例17设f(x)在R上二阶可导，且有|f(x)|?M0，|f(x)|?M2，证明
//|f/(x)|2?2M0M2
（提示：一般是f(x?h)、f(x?h)在x处利用） 23不等式的证明
1利用函数的单调性来证明
例17(1)证明当x?[,1]时，arctanx?ln(1?x)?(2)证明当x?0时，(1?x)1?1x122?4?ln2
?e1?x2
2利用求函数最值的方法证明不等式 例18(1)证明
12p?1a?xp?(1?x)p?1（0?x?1,p?1）
(2)证明(1?x)?ax?1（x??1,0?a?1） 24求导 例19已知
（１）。 f(x =(x?1)(x?2)(x?3)?(x?100),求f＇
25复合函数的求导
例20求导 （1）y?esin21x
1dy?2x?1?3，求?(2) 设y?f?， . f(x)?lnx?dx?x?1?26求反函数的导数
例21设x??(y)是y??(x)的反函数，?(1)?2, ??(1)?3,求??(2)。 3d2y练习 设x?lny?y?1，求2
dx?2?27隐函数的求导 例22求导
（1）(cosx)?(siny)
(2)设y=y(x)是由方程xy+ey=1所确定的隐函数，求y\。
38
yx28由参数方程所确定的函数的导数 例23求导数
dy dxt??x?a(t?sint)?x?te（1）? （2）?t y??y?a(1?cost)?e?e?229对数求导法求函数的导数 <1> (1)对幂指函数y?[f(x)](2)两边对x求导得:
g(x)两边取对数lny?g(x)?lnf(x)
1/g(x)/?y?g/(x)?lnf(x)??f(x) yf(x)g(x)/?f(x)] f(x)(3)则y?f(x)/g(x)[g/(x)?lnf(x)?例24求导(1)y?xx (2)y?(x2?sinx)cosx
<2> 多重函数的连乘除,多重根式内商的函数求导 例25求导(1) y?330抽象函数的求导 例26求导
（1）y?ef(x?lnx) （2）设y?f(arcsinx)，f(x)?tanx，求31求高阶导数
常见函数的高阶导数 （1）(x)（2）(a)?(n)x2/(x?1)(2x?3) (2)y?5(3x?5)(x?2)x?55x?22
dy|1 dxx?2???(??1)?(??2)??(??n?1)x??n
?axlnna （3）(eax)(n)?an?eax
x(n)（4）(lnx)(n)(?1)n?1(n?1)!n?(n)? （5）(sinx)?sin(x?) n2x1(n)(?1)nn!ann?)? ?cos(x?) （6）(n?1ax?b(ax?b)2（6）(cosx)(n)两个函数乘积的n阶导数公式
39
(u?v)(n)??n!u(n?k)v(k)
?(n?k)!k?0k!(n)n例27求高阶导数y（1）y?e2x
cos2x （2）y?2(n)x31?x
(3) 求f(x)?xln(1?x)在x=0的f32导数的简单应用
(0)。
例28(1)设曲线y?x?ax?b和2y??1?xy在点(1,?1)处相切，求a,b
(2)某油轮在某海域触礁沉没，船上104m3的油污染了海面，假定原油在扩散过程中油层始终保持圆柱形状，已知油层厚度h随时间t的变化关系有经验公式h?ktK=10
-4
?1223（t>0），其中
?m/h?12，试求（1）4小时后，污染的面积有多大？（2）该时刻油层正以怎样的
速度继续扩散？
(3)设某商品的需求函数为Q=100-5p，其中价格p?(0,20)，Q为需求量。 （I）求需求量对价格的弹性Ed(?0)； （II）推导
dR，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，?Q(1?Ed)（其中R为收益）
dP降低价格反而使收益增加？
(4)某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的售价为p。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。由于市场竞争的影响，电视机售价越高，销售量x就会越低。根据市场调查可以确定x?Me?ap?M,a?0?，其中M为市场的最大
需求量，a是价格系数。另一方面，销售量x越大，每台电视机的生产成本就越低。根据对生产环节的分析可知c?c0?klnx （c0,k?0,x?1）其中c0为只生产一台电视机时的成本，k是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格p，才能使该厂获得最大利润。
练习
40
相关推荐：
loading