重庆市专升本高等数学模拟试卷（一）
一．选择题 （本大题共
5 小题，每小题 4 分,共 20 分,每项只有一个正确答案， 请把
所选项前的字母填在括号内）
1. lim xsin
x
2
x
(
)
(A) 0
(B) 1
(C)
(D)
2
2.设 F (x) 是 f ( x) 在 （
,
上的一个原函数，且
F ( x) 为奇函数，则 f ( x) 是
）
(A) 奇函数 3. tan xdx (A) (C) 4. y
设
(B) 偶函数
(C) 非奇非偶函数
(D)
不能确定
( )
ln cosx c ln sin x c a,b f (x)
为
b
(B) (D)
ln cos x ln sin x c
c
y f ( x) 上的连续函数，则曲线
）
， x a ，
x b
x 轴所 及
围成的曲边梯形面积为（
(A) (C)
f ( x)dx
a
f (x) dx
a
b
(B)
b
f ( x)dx a n
b
(D)
f ( x) dx a
5.下列级数发散的是（ ）
B．
n 1
n 3 4n
( 1) A．
( n 1)(n 2) n 1
2
( 1)
1
n 1
3
C．
( 1)n 1 1
3
D．
n
1
1
n 1
n
(2 n 1)2
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分 ,共 20 分，请把正确结果填在划线上）
所确定的隐函数
x 1.
方程 3
2. y
y 3axy 0
3
y
y(x) 的导数为
1 tan2 ( x 3y) 的通解为 3
3..若 lim nun
k （ k 0 ），则正项级数
un 的敛散性为
．
n
n 1
2
1
4.积分 1 2x 1 dx
＝
1 0 5.二次积分
dx
x 2
4xdy ＝
0
三．计算题（本大题共 10
1、求极限 lim x
题， 1-8 题每题 8分,9题9分,10题 7分）
3 1
x x
y)
1 1
2、已知 ln( x
2
xyx sin x ，求
2
dy
dx x 0
1 0
3.
x arctanxdx
y
2 y x 2 的通解
4、求方程 y
( x 2)n
5、求幂级数
n
0
n 1 x 2
d
的收敛域．
6、.求二重积分
D
y
2
，其中 D 是由直线 x 2 ， y
x 及直线 xy 1 所围成的
闭合区域 . 7、求函数 z
arc tan
x y
ln x2 y2 的全微分．
x1 4x2 x2 3x3
x3 3
1
8、对于非齐次线性方程组
， 为何值时，（ 1）有唯一值； x1 3x2 ( 1)x3 0
（ 2）无解；（ 3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。 9、过点 M (3, 0) 作曲线 y ln( x 图形 D ．试求平面图形
3) 的切线，该切线与此曲线及 x 轴围成一平面
D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积．
a, b 内二阶可导，且 f (a) f (b)
10.设 f ( x) 在 a, b 上连续，在 0 ，且存在点
0
c a,b 使得 f (c) 0 ，试证明至少存在一点 a, b ，使 f ( )
参考答案
一．选择题 1. D
2. B
3. B
4. C5.
A
二．填空题 1． y
ay xy 2 ax
2 2． 2 y
x
1 sin[ 2( x 3 y)] c3．发散4． ln 3 2
13
5． 1
三．计算题
1．解：用洛必塔法则
2 3
x
lim
x 1
3
x 1 x 1
= lim x 1
31 = x
2
2 3
2
y)
2．解： ln( x2
xy2
x sin x
两边同对 x 求导 得 2x
y
x 2 y
y 2 2xyy
sin x x cos x
当 x 0 时由原方程式可得 y
0
1
1
于是解得 y
3．解：
x arctanxdx = 1 arctan xdx = 1 0
2 0 2
2
1 1 x1
dx= 8 2 0 1 x 2 1
1
1
2
x arctanx
2
1
1 x 2 1 dx 0 2 0 1 x2
1
1
1 1 1
1 2
2
=
8 2 + 2 arctanx 0 = 8 2 + 8 = 4
4．解：对应的齐次方程的特征方程为
2
2 0
得
1
2 , 1
于是对应的齐次方程的通解为
y c1 e 2x c2 ex （其中 c1 ,c 2 是任意常数）
因为
0 不是特征根，所以设特解为
y 1 4 2
Ax 2 ， y
Bx C 1 x
代入原方程，得 A
0 , B
1 2
2 x , C
x
1 4
故原方程的通解为 y
lim
n
y y c1 e
c 2 e
1 x
1
2 （其中 c 1 ,c 2 是任意常数）
4 1
5．解：因为
an 1 an
lim
n
1
n 2
lim
n
n
1
1 n 1
n
2
所以原级数的收敛半径为
R
1 1
1 x 2
也就是，当
当 x
1
1
x 3
，即
时，原级数收敛．
1时，原级数为
( 1)n
n 0
是交错级数且满足
un
1
1 n 2
n 1
当 x
n 1 ， lim un lim n n
u
n 1
1
0，所以它是收敛的；
n 1
3 时，原级数为
1
，这是一个 p
n 0
n 1
1 1的 p 级数，所以它是
2
发散的；
所以，原级数的收敛域为
[1, 3) ．
6．解：
D
x 2 2
d
y
= dx
2 x
1 x
x 2 y
1
2 dy
2
2
1 y
=
1
x
x 1 dx
2
x
=
x x
3
dx = 9
1
4
7、解：由于
z z y
y x x2 y2
x y x2 y2
x y y 2 x2 y 2
y x x2
x x2
y 2 x2
y2 所以
dz
z
dx
z
dy
x y dx y x dy ．
x y
x2 y2 x2 y2
8、解：增广矩阵
1 4 1 1
1 4 1 1
r 2 r3 1 4 1 B
0
1
3
3
r3 r
0 3
3
r3
r2 0 1 2
1 3
1 0
0
1
2 1
0 0
(
3)(
1)
（1）要使方程组有唯一解必有 R(A) R(B)
3则 (
3)(
1) 0即
3且1
( 3)( 1)
0 （ 2）要使方程组无解必有 R( A)
R(B) 则
3 0
即
1
(
3)( 1) 0
（ 3）要使方程组有无穷多解必有
R( A) R( B) 3则
即
3
0
3
此时增广矩阵
1 4 1 1 1 4 1 1
r1 4 r2 1 0
5 3 B
0 3
3
0 1 1 1 r2 ( 1)
0 1 1 1
1 3
1 0
0
0
0
0
0 0
0
0
5x
x1
3 5 同解方程组
x1 3 3 令 x3 k 则通解为 x2
1 k 1
x2
1 x3
x3
0
1 9、解：设切线与曲线相切于点
M 0 x0 ,ln( x0 3) （如第 9 题图所示），
1 3
1
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