[基
础题组练]
1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° C．南偏东80°
B．北偏西10° D．南偏西80°
察站南
解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，
C两地间的距离为( )
A．10 km C．105 km
B．103 km D．107 km
?1?22222
解析：选D.由余弦定理可得：AC＝AB＋CB－2AB×CB×cos 120°＝10＋20－2×10×20×?－??2?
＝700.
所以AC＝107(km)．
3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(3－1) m C．120(3－1) m
B．180(2－1) m D．30(3＋1) m
tan 60°－tan 45°
解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－3，所以BC＝60tan
1＋tan 60°tan 45°60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．
4．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快3
速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝cos β，则v＝
4( )
A．60 C．100
B．80 D．125
2
2
2
解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)＝200＋150＋2×200×150cos(α＋β)①，1502004322
由正弦定理得＝，所以sin α＝sin β.又cos α＝ cos β，sin α＋cos α＝1，
sin βsin α3434431212
解得sin β＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，故cos(α＋β)＝－＝0，代入①解得v55552525＝100.
5．地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( ) 2
A．50 m，100 m C．40 m，50 m
B．40 m，90 m D．30 m，40 m
α解析：选B.设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β. 则tan α＝，tan ＝，
1202120
2×
120
Hαhh根据三角函数的倍角公式有
＝.① 120h?2?1－???120?
H因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角， π
所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，
2
H?π?h由tan β＝，tan?－β?＝，
60?2?60H60
得＝.② 60h联立①②解得H＝90，h＝40. 即两座塔的高度分别为40 m，90 m.
6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________海里/小时．
解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°. 在△PMN中，＝，
sin 120°sin 45°
3222
MNPM所以MN＝68×＝346(海里)．
又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)， 346176
所以此船的航行速度v＝＝(海里/小时)．
42176
答案：
2
7.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD＝________m.
解析：设塔高CD＝x m， 则AD＝x m，DB＝3x m.
又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°， 在△ABD中，利用余弦定理，得 84＝x＋(3x)－23·x cos 150°， 解得x＝127(负值舍去)，故塔高为127 m. 答案：127
2
2
2
2
8.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C
点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD＝2，CE＝23，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为2??________.?cos 48.19°取?
3??
解析：依题意知，在△ACD中，∠DAC＝30°，由正弦定理得AC＝
CDsin 45°
sin 30°
＝22，在△BCE中，
∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝
CEsin 60°
sin 45°
＝32.在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC＋BC－
222
2AC·BCcos ∠ACB＝10，所以AB＝10.
答案：10
9．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.
解：根据题图，
AC＝1002 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝?AM＝1003 m.
sin 45°sin 60°在△AMN中，＝sin 60°，
3
＝150(m)． 2
ACAMMNAM所以MN＝1003×
10.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两
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