根据正弦定理，
asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).
sinAsin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。 解：根据正弦定理，
bsinA28sin400 sinB???0.8999.
a20因为00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160. ⑴ 当B?640时，
C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，
asinC20sin760c???30(cm).
sinAsin400⑵ 当B?1160时，
C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，
asinC20sin240c???13(cm).
sinAsin400评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 [练习]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c （答案：1：2：3）
课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：
asinAsinBsinC或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
?b?c?a?b?c?k?k?0?；
sinA?sinB?sinC§1.1.2余弦定理
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 课题导入
C 如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和?C，求边c b a
A c B (图1．1-4)
讲授新课
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
uurruurruurrrrrrr如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 b c
rrrrrr ?ab?b?r2ar?br?2a?r2 ?a?b?2a?bc?c?c?a?ba?br2rr?rr??rr? C a B r从而 c2?a2?b2?2abcosC (图1．1-5)
同理可证 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b2?c2?a2a2?c2?b2b2?a2?c2 cosB? cosC? cosA?2bc2ac2ba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题]例1．在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1)=8 ∴b?22.
b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21??, ⑵解法一：∵cosA?2bc22?22?(6?2)
0∴A?60.
a23解法二：∵sinA?sinB??sin450,
b22又∵6?2＞2.4?1.4?3.8, 23＜2?1.8?3.6,
0∴a＜c，即00＜A＜900, ∴A?60.
例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得：
b2?c2?a287.82?161.72?134.62cosA??0.5543, ?2bc2?87.8?161.7A?56020?；
c2?a2?b2134.62?161.72?87.82cosB??0.8398, ?2ca2?134.6?161.7B?32053?；
? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)[练习]在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）
课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
§1．1解三角形的进一步讨论
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 ●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 ●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 课题导入：
思考：在?ABC中，已知a?22cm，b?25cm，A?1330，解三角形。
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 讲授新课
例1．在?ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况
bsinA可进一步求出B； aasinC则C?1800?(A?B) 从而c?
A1．当A为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解。
分析：先由sinB?2．当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果a?b，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若a?bsinA，则有两解； （2）若a?bsinA，则只有一解； （3）若a?bsinA，则无解。
（以上解答过程详见课本第9:10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 [练习1]
（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC中，若a?1，c?1，?C?400，则符合题意的b的值有_____个。 2（3）在?ABC中，a?xcm，b?2 cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
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