二次函数的图像与常见几何图形
专题一：二次函数的图像与圆
1. 如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝x2－1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.
(1)求N的函数表达式；
(2)设点P(m，n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2＋PB2的最大值；
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数．
第2题图
3. 如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
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专题二：二次函数与相似三角形
1. 已知二次函数y＝ax2－8ax(a＜0)的图像与x轴的正半轴交于点A，它的顶点为P．点C为
y轴正半轴上一点，直线AC与该图像的另一交点为B，与过点P且垂直于x轴的直线交于点D，且CB：AB＝1：7．
（1）求点A的坐标及点C的坐标(用含a的代数式表示)；
（2）连接BP，若△BDP与△AOC相似（点O为原点），求此二次函数的关系式．
2. （2014，无锡市）如图，二次函数y=ax+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负 半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1． （1）求点A的坐标； （2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．
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y O x
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx经过两点A(－1，1)、B(2，2)．过
点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D. (1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；
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(2)若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标；
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(3)连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边．．．．OB对应)的点N的坐标．
4. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线
的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F． （1）求线段DE的长；
（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．
5. （2012，南通市中考题）如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点A(0，－4)的抛物线 1
y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－2，0) 和C。
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(1)求抛物线的解析式；
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(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长
22度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围； (3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．
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