3.3.3 导数的实际应用
自我小测
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
2．用边长为36 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒．要使所做的铁盒容积最大，
在四个角截去的正方形的边长为( )
D．12 cm
C．10 cm
B．8 cm
A．6 cm
3．容积为108 L的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为( )
D．6 dm
C．4 dm
B．3 dm
A．2 dm
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为
( )
3
C.4V
3
B.2V
3 A.V 3 D．2V
5．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x t与每吨产品的价格p(元/t)之间12
的关系式为p＝24 200－x，且生产x t的成本为R＝50 000＋200x(元)，则该厂利润达
5
到最大时的月产量为( )
D．200
C．400
B．20
A．100
6．圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高
与底面半径之比为__________．
7．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该
公司能获得的最大利润为__________万元．
8．一张1.4 m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼1.8 m，问观察者应站在
距离墙__________处看图，才能最清晰(即视角最大)．
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少
2
1 / 5
时，航行1千米所需的费用总和为最小？
10．“过低碳生活，创造绿色家园”．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位： cm)满足关系：C(x)＝
k
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万3x＋5
元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值．
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参考答案
1. 答案：A 2. 答案：A
1082
3. 解析：设水箱的底面边长为a dm，高为h dm，则V＝ah＝108，即h＝.a2
用料最省，即表面积最小．
108243222
S表＝S底＋S侧＝a＋4ah＝a＋4a×＝a＋.a2a
432432
S表′＝2a－，令S表′＝2a－＝0，解得a＝6，此时h＝3(dm)．
a2a2
答案：B
4. 解析：设底面边长为x，则表面积S(x)＝
32433
x＋V(x＞0)，S′(x)＝(x3－2xx2
3 4V)，令S′(x)＝0，得唯一极值点x＝4V.
答案：C
1?? 5. 解析：每月生产x吨时的利润为f(x)＝?24 200－x2?·x－(50 000＋200x)5??
13
＝－x＋24 000x－50 000(x≥0)．
5
32
令f′(x)＝－x＋24 000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去负值．f(x)在[0，＋∞)内
5
有唯一的极大值点，也是最大值点．
答案：D
6. 解析：设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R，
则表面积S＝2πRh＋2πR.V2
由V＝πRh，得h＝，
πR2
V2V22
则S(R)＝2πR＋2πR＝＋2πR.
πR2R
2V
令S′(R)＝－＋4πR＝0，
R2
2
3 / 5
3
解得R＝
VV，从而h＝＝2ππR2
34V3V
＝＝2，即h＝2R.因为
π2π?3?
V?2π?
?2π?
V
S(R)只有一个极值，
所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即h∶R＝2∶1时所用材料最省．
答案：2∶1
7. 解析：设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15－m)辆车，
则总利润y＝5.06m－0.15m＋2(15－m)
＝－0.15m＋3.06m＋30， 所以y′＝－0.3m＋3.06. 令y′＝0，得m＝10.2. 当0≤m＜10.2时，y′＞0； 当10.2＜m≤15时，y′＜0.
故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值． 又由于m为正整数，且当m＝10时，y＝45.6；
当m＝11时，y＝45.51.
故该公司获得的最大利润为45.6万元．
答案：45.6
8. 解析：如图所示，设OD＝x，∠BOA＝α，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，则α＝γ－
3.21.8
β，tan γ＝，tan β＝，
xx
2
2
3.21.8
－xxtan γ－tan β1.4x
tan α＝tan(γ－β)＝＝＝(x＞0)．
1＋tan γtan β3.2×1.8x2＋5.76
1＋
x2
1.4(x2＋5.76)－2x×1.4x
令(tan α)′＝＝0，
(x2＋5.76)2
解得x＝2.4.在x＝2.4附近，导数值由正到负，在x＝2.4 m处，tan α取得最大
值，即视角最大． 答案：2.4 m
4 / 5
9. 解：设速度为每小时v千米时的燃料费为每小时p元，由题意得p＝k·v，其中k 为比例常数，当v＝10时，p＝6，解得k＝
63
＝0.006.于是有p＝0.006v.103
3
设当速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费113
用是(0.006v＋96)元，而行1千米所需时间为小时，所以行1千米的总费用为q＝
vv96960.012332
(0.006v＋96)＝0.006v＋.q′＝0.012v－＝(v－8 000)，令q′＝0，解得v＝
vv2v2
20.
因当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，所以当v＝20时取得最小值． 即当速度为20千米/时时，航行1千米所需费用总和最小．
k
10. 解：(1)由题意知，C(0)＝＝8，解得k＝40.
5
40
故C(x)＝.3x＋5
40800
所以f(x)＝6x＋20×＝6x＋(0≤x≤10)．
3x＋53x＋5
2 400
(2)f′(x)＝6－.
(3x＋5)2
令f′(x)＝0，2 400
即6－＝0，
(3x＋5)2
25
解得x＝5，x＝－(舍去)．
3 当0＜x＜5时，f′(x)＜0； 当5＜x＜10时，f′(x)＞0.
800
故当x＝5时，有f(x)最小值＝f(5)＝6×5＋＝70.
3×5＋5
所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．
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