如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 规定： a + 0-= 0 + a
（1）两向量
（2）当向量与不共线时：
当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||； 当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，
当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||； 若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
3．加法的交换律和平行四边形法则
1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） 2）向量加法的交换律：+=+
六、备用习题 思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
ａｂ A a ｂ B
a a C b a+b
a+b a b
的和仍是一个向量；
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
1．用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
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2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a ? b ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作= a， = b 则= a ? b
b a
b a?b O a 即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量B a的终点的向量. 注意：1?表示a ? b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
O b
B
b B’
a ?b
a a+ (?b) b A 平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
1.(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
2．向量的夹角:已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角，当=0°，、同向，当=180°，、反向，当=90°，与垂直，记作⊥。 3．平面向量的坐标表示
（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 …………○1
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………○2
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其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐．．．．．．．．标也为. 特别地，，，. ．．．
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．3．3平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标运算 （1） 若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. （2）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、，则，即
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 （3） 若，，则
=?=( x2， y2) ? (x1，y1)= (x2? x1， y2? y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ， 则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（0≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出
b=0.因为其中cos?有可能为0. （4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c 如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|
? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共
线.
2．“投影”的概念：作图
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定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|. 3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量， 1、a?b ? a?b = 0
2、当a与b同向时，a?b = |a||b|； 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或 |a?b| ≤ |a||b| cos? = 平面向量数量积的运算律: 1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2．数乘结合律：(a)?b =(a?b) = a?(b)
证：若> 0，(a)?b =|a||b|cos?， (a?b) =|a||b|cos?，a?(b) =|a||b|cos?，
若< 0，(a)?b =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?，(a?b) =|a||b|cos?，a?(b) =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?. 3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2
∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2， ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 2. 平面内两点间的距离公式 （1）设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么(平面内两点间的距离公式) 3．向量垂直的判定
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