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?《经济数学基础》期末复习指导

第一篇微分学 第1章函数

一、复习要点及要求： 1. 理解函数概念。

2. 掌握求函数定义域的方法。

3. 拿握函数的基木性质并知道它们的几何特性: 4. 了解复合函数，会对复合函数进行分解。 5. 理解基木初等函数，知道初等函数的概念。 6. 掌握以下常见的经济函数：

（1） 成木函数 总成木二固定成木+变动成本 即 C（g）二C（）+C|⑷， 其中g是产量

平均成本函数C = ^-

g

（2） 收入函数 总收入二销售量X价格，即R = q?p,其中g表示销售量,

p表示价格

（3） 利润函数 总利润二总收入一总成木，即L二R-C 二、主要练习 1. 求函数的定义域及函数值

求函数定义域时要注意：分式的分母不能为零；对数的真数大于0；偶次根 式下的表达式大于0。

例1 函数/⑴=ln（兀+ 5）-石匚的定义域是 ________________________ .

A. B. 故该函数的定义域就是上述齐定义域的公共部分，即-5

兀〉-5‘占的定义域是:

ln（x + 5）的定义)? 例 2 设 f(x) =丄+ 1,则/(/(%))=( C. D. X

+ 1

x <2

解由于/(x) = -+1

说明/表示运算: 因此

/(/?)=

7?+1

再将/⑴二丄+i代入，得

X

/V (无))=? + 1 =

-+ 1

于是应该选择Ao

2. 会建立常见的经济函数

例3已知生产某种产品的成本函数C?二80 + 2q,则当产量g二50吋, 该产品的平均成本为 _______________________ .

解因为C(50) = 180,所以

如迴耳3.6

50

50

或因为C(<7)= -^ = —+ 2,所以

q q

— 80

C(10) = —+ 2 = 3.6

50

第2章极限、导数与微分 一、复习要点及要求：

1. 知道极限存在的充分必要条件：

极限lim /(x)存在u> lim /(x)和lim /(兀)存在11相等。

心 垃

XT

XTX6

XT

2. 掌握极限的四则运算法则，掌握求极限的一般方法(如因式分解法、有理化

法)。

3. 掌握两个重要极限：

z, x r sinx 1 (1) lim ------ = 1

XTO %

sin()

公式特点：

(1)类型

公式特点：(2) (1)类型

型；(2)结构lim

丄 型；(2)结构lim[l +

x右]() lim(l + x) 括号内变量一致。

括号内变量一致。

4. 了解无穷小概念，知道无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小这一性质。

5. 了解函数在一点连续的概念。 6. 知道导数的儿何意义：

函数y = /⑴在点兀o处的导数广（兀。）在几何上表示曲线y = /（兀）在点

（x（）,/u0））处的切线斜率。其切线方程为：

y-f（xQ）= f（＜xQ）（x-xQ） 7. 熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数求导法则和隐函数求导法则。

f&会求函数的微分：dy = f\\x）dx 二、主要练习

1. 弄清楠定义、有极限、连续和可导四者之间的关系。

例1若函数f （^）在点兀处可导，贝叽 ）是错误的.

A. 函数/（兀）在兀。处有定义 B. lim /（x） = A ,但 AHfOo） XT%

C. 函数f （力在点Ao处连续 D. 函数f 3在点Ao处可微

解 可导的函数一定连续，连续函数一定有定义、有极限，且极限值等于函 数值。 所以选择B。

2. 求斜率或建立切线方程

例2曲线尸x刁在点（1, 1）处的切线斜率是 __________________ ? 解y = _lx 2,由导数儿何意义知，所求切线斜率为

X=1

3. 无穷小的判断

例3已知于（无）=亠一1,当（ ）时，/（对为无穷小量.

tanx

A. x -》0 B. x ~? 1 C. x -? —oo D. x -? +co 解因为Iim（—^-l） = lim———1 = 1-1 = 0,所以选择A。 XT（）tan x XT（）tan x

4. 求极限

例4求极限limxl±￡zl

YTO sin 2x

解利用有理化法及第一个重要极限求极限

lhpgz 二 lin/m

匹

20 sin 2x “TO sin 2x ? (Jl + x +1)

=lim

z) sin

2x=丄 lim 丄「? lim —=- 2 XTO sin 2x 20 71 + x + 1 例5求极限lim.—2+8

―>2 矿 _5兀 + 6 解利用因式分解法求极限

原式=lim(x-2)(x-4)=］曲口

宀2 (x-2)(x-3) XT()x-3

4

5. 求导数或微分

例6已知y = ln(l - 3/),求 解由复合函数求导法则，得

6x 1 —

1 — 3/

3/

例7由方程ysin(x+y) + y 4确定y是x的隐函数,求才。 解方程两边同时对x求导，得

y'sin(x + y) + ycos(x+ y)(l + y') + e (y + xy) = 0

n

f[sin(兀 + y) + y cos(兀 + y) + xe}y = -y cos(兀 + y) - ye

y(cos(兀 + y) + e) vvsin(x + y) + y cos(x + y) + xe

xyxyfxy第3章导数应用

一、复习要点及要求：

1. 掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。

2. 知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道极值点与驻