3．1.1 数系的扩充和复数的概念
复数的概念及代数表示 问题1：方程x＋1＝0在实数范围内有解吗？ 提示：没有．
问题2：若有一个新数i满足i＝－1，试想方程x＋1＝0有解吗． 提示：有解(x＝±i)，但不在实数范围内．
1．复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，
2
2
2
2
a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
对复数概念的理解
(1)对复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.
复数的分类
问题1：复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？ 提示：b＝0.
问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C? 提示：
1
复数的分类
实数b＝，??
(1)复数a＋bi(a，b∈R)?虚数b??当a＝0时为纯虚数(2)集合表示：
1．0的特殊性
0是实数，因此也是复数，写成a＋bi(a，b∈R)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都是0.
2．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
复数相等的充要条件 (1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________. (2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位．求实数x，y的值． (1)由复数相等的充要条件可知x＝－12，y＝5. (2)根据复数相等的充要条件， 由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，
??2x－1＝y，
得?
?1＝－－y?
，
5??x＝，
解得?2
??y＝4，
5
即x＝，y＝4.
2
5
答案：(1)－12 5 (2)x＝，y＝4.
2
解决复数相等问题的步骤
(1)等号两侧都写成复数的代数形式；
(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；
2
(3)解方程(组)．
已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，求实数x，y的值．
??2x＋8y＝14，
解：由复数相等的充要条件，得?
?x－6y＝－13，???x＝－1，
解得?
?y＝2.?
复数的分类 已知m∈R，复数z＝
mm＋m－1
＋(m＋2m－3)i.
2
(1)当m为何值时，z为实数？ (2)当m为何值时，z为虚数？ (3)当m为何值时，z为纯虚数？
(1)要使z为实数，需满足m＋2m－3＝0，且－3.
(2)要使z为虚数，需满足m＋2m－3≠0，且且m≠－3.
(3)要使z为纯虚数，需满足
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
设复数z＝lg(m－2m－2)＋(m＋3m＋2)i. (1)当m为何值时，z是实数？ (2)当m为何值时，z是纯虚数？ 解：(1)要使复数z为实数，需满足
??m－2m－2＞0，
?2??m＋3m＋2＝0，
2
2
222
mm＋
m－1
有意义即m－1≠0，解得m＝
mm＋m－1
有意义即m－1≠0，解得m≠1
mm＋m－1
＝0，且m＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
2
解得m＝－2或－1，即当m＝－2或－1时，z是实数． (2)要使复数z为纯虚数，需满足
3
??m－2m－2＝1，?2
?m＋3m＋2≠0，?
2
解得m＝3，
即当m＝3时，z是纯虚数．
7.对纯虚数的概念把握不准致误
(上海高考)设m∈R，m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
复数m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数的充要条件是
??m＋m－2＝0，?2
?m－1≠0，?
2
2
2
2
2
2
??m＝1或m＝－2，
解得?
?m≠±1，?
即m＝－2.
故m＝－2时，m＋m－2＋(m－1)i是纯虚数． －2
1．若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m＝1或m＝－2的错误结论．
??a＝0，
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为?
?b≠0，?
2
二者缺一不可．
若z＝(x－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 C．1
B．0 D．－1或1
2
2
2
2
解析：选A 因为z为纯虚数，所以(x－1)＝0. 又x－1≠0，所以x＝－1.
2
1．在2＋7，i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
7A．0
B．1
4
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